Kurt Gödel, le logicien qui a transformé les mathématiques du XXe siècle, a laissé derrière lui des milliers de pages d'ouvrages inédits rédigés dans une sténographie obsolète que presque personne ne peut lire. Aujourd’hui, l’intelligence artificielle a contribué à les décoder – et les résultats suggèrent que l’esprit mathématique le plus célèbre du siècle était encore plus prolifique que ne le pensaient les historiens.

Selon un rapport publié vendredi par The Guardian, une analyse des cahiers de Gödel, assistée par l'IA, a révélé qu'il a prouvé des centaines de théorèmes dont personne ne connaissait l'existence, y compris des résultats qui anticipaient les développements de la logique mathématique des années 1970 et 1980. Pour plus de contexte sur cette histoire, consultez notre dernières avancées en IA.

Une archive cryptique que seules six personnes peuvent lire

L'histoire commence avec le logicien finlandais Jan von Plato de l'Université d'Helsinki, qui mène depuis 2017 un projet visant à comprendre le contenu de 16 cahiers écrits par Gödel au début des années 1940, connus sous le nom de cahiers d'exercices. Le matériel comprend 1 009 pages de textes densément écrits sur les mathématiques et la logique, dont une grande partie est composée en Gabelsberger, un raccourci allemand qui était déjà hors d'usage lorsque Gödel y écrivait.

Von Platon a déclaré au Guardian qu'il était l'une des six personnes au monde à pouvoir lire la sténographie. Les progrès dans la compréhension mathématique du texte étaient extrêmement lents – environ une page par semaine – malgré le financement d'une subvention de 2,5 millions d'euros (2,1 millions de livres sterling) du Conseil européen de la recherche.

Claude digère 1 009 pages en jours

Ce rythme a changé en septembre, lorsque von Plato a fait appel à Claude, le modèle d'IA développé par Anthropic. L'idée est venue en août, lors d'une conférence en France sur l'IA et la démonstration de théorèmes, où des informaticiens lui ont suggéré de coopter l'aide du modèle pour donner un sens aux manuels.

À son retour à Helsinki, von Platon commença à montrer à Claude ses transcriptions des cahiers d'exercices, ainsi que six livres qu'il avait précédemment écrits sur Gödel et d'autres ouvrages scientifiques secondaires. En quelques jours, le modèle avait produit un résumé complet de l’ensemble du matériel – une explication de 650 pages des manuels.

"J'ai été sidéré", a déclaré von Platon au Guardian. "Les cahiers d'exercices contiennent non seulement des dizaines d'anticipations de résultats inconnus avant les années 70 et 80, mais ils contiennent également 14 thèmes de logique qui n'ont pas été approfondis. Gödel était bien en avance sur son temps."

Il a pris soin de noter que le résultat de l'IA nécessitait une vérification : « Il fallait le contrôler page par page, mais c'est fondamentalement un travail impossible à faire pour des êtres humains », a-t-il déclaré. "Les humains lisent une page à la fois et nous avons tendance à oublier des choses. Il nous faut un an pour lire environ 50 pages. Nous ne sommes tout simplement pas capables de garder à l'esprit toutes les différentes parties."

"L'IA peut relier toutes les pièces d'un millier de pages", a-t-il ajouté. "Il permet de voir tous les écrits de Gödel comme un seul morceau."

Test de l'affirmation de Gödel de 1966

L’une des premières tâches confiées par Platon à Claude avait un poids historique particulier. En 1966, le mathématicien américain Paul Cohen a remporté la médaille Fields pour avoir prouvé l'indépendance de deux énoncés mathématiques célèbres : l'hypothèse du continu et l'axiome du choix. Gödel a réagi au prix de Cohen en affirmant qu'il avait déjà prouvé le résultat de l'axiome de choix dans les années 1940. Pourtant, sous la pression de ses pairs, il a été incapable de reconstruire une preuve à partir de ses notes.

Von Platon a demandé à Claude de déterminer si les cahiers d'exercices contenaient réellement une preuve de l'indépendance de l'axiome de choix. La réponse est revenue : oui, presque. "Il n'était qu'à un pas", a déclaré von Platon au Guardian. "Il y a une définition que Gödel s'est trompée, mais il avait la bonne définition deux ans plus tôt, et on pense donc qu'il serait parvenu à la bonne."

En d’autres termes, l’affirmation de Gödel, vieille de plusieurs décennies, semble avoir été essentiellement vraie : ses notes l’ont amené à une seule définition défectueuse d’un résultat qui a remporté la plus haute distinction dans le domaine.

Pourquoi le résultat Gödel est important pour l'IA

Le projet est une démonstration convaincante de l’IA en tant qu’instrument scientifique plutôt que comme substitut à l’érudition. Le résumé a été vérifié page par page par l'un des rares humains capables de lire le matériel source, et sa valeur provenait du fait de garder une archive entière en vue à la fois - une tâche qui dépasse la mémoire de travail de tout lecteur humain, mais pas la fenêtre contextuelle d'un modèle de langage.

Cela arrive également à un moment de débat intense sur le rôle de l’IA en mathématiques. Comme l’indiquait notre précédent article sur l’essai de Terence Tao sur l’IA et les mathématiques, d’éminents mathématiciens discutent ouvertement de la manière dont l’assistance automatique va remodeler la découverte et la preuve. Les manuels de Gödel offrent un premier exemple concret : non pas l’IA prouvant de nouveaux théorèmes, mais l’IA révélant tout ce que le génie humain avait déjà prouvé et jamais publié.

Pour l’histoire de la logique, les résultats suggèrent que des dizaines de résultats attribués aux décennies ultérieures avaient des précurseurs non lus dans les archives de Princeton, et que 14 thèmes inexplorés dans les notes de Gödel pourraient encore donner lieu à de nouveaux travaux. Pour la recherche sur l’IA, l’épisode est une étude de cas dans une collaboration axée sur la vérification : le modèle a produit une synthèse qu’aucun humain ne pouvait réaliser, et l’humain en a capturé, vérifié et contextualisé chaque page.

Gödel, qui a fui l'Autriche en 1940 et est devenu un ami proche d'Albert Einstein à l'Institut d'études avancées de Princeton, est décédé en 1978. Quatre décennies plus tard, les cahiers qu'il a laissés derrière lui sont enfin lus dans leur intégralité, avec l'aide d'une machine, guidée par l'une des six personnes sur Terre qui auraient pu le faire seule.

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