कंपनी की आधिकारिक घोषणा के अनुसार, एंथ्रोपिक ने गुरुवार, 4 सितंबर, 2026 को घोषणा की कि क्लाउड ने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का पहला पूर्ण कंप्यूटर-जाँचित प्रमाण तैयार किया है, जो गणित में सबसे प्रसिद्ध परिणामों में से एक है, जो 11 दिनों में बड़े पैमाने पर स्वायत्त रूप से काम करता है और लीन प्रोग्रामिंग भाषा में कोड की 13 मिलियन लाइनें लिखता है।

इस मील के पत्थर ने अनुसंधान समुदाय का तत्काल ध्यान आकर्षित किया, प्रकाशन के कुछ ही घंटों के भीतर हैकर न्यूज़ को शीर्ष पर पहुंचा दिया। प्रमेय के औपचारिक प्रमाण के लिए बहु-वर्षीय सामुदायिक प्रयास की अपेक्षा की गई थी; इसके बजाय, दर्जनों सहयोगी क्लाउड एजेंटों की एक टीम ने दो सप्ताह से कम समय में काम पूरा कर लिया। एआई क्षमताएं आज कहां हैं, इस पर अधिक संदर्भ के लिए हमारा नवीनतम एआई विकास देखें।

फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय क्या है - और यह 350 वर्षों तक प्रमाण का विरोध क्यों करता रहा

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी धनात्मक पूर्णांक a, b, और c, 2 से अधिक n के किसी भी मान के लिए समीकरण aⁿ + bⁿ = cⁿ को संतुष्ट नहीं कर सकता है। पियरे डी फ़र्मेट ने 1637 के आसपास डायोफैंटस की अरिथमेटिका की अपनी प्रति के हाशिये में दावा लिखा था, और अपने अब-पौराणिक नोट को जोड़ते हुए कहा कि उन्होंने वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण की खोज की है, जिसे शामिल करने के लिए मार्जिन बहुत संकीर्ण था।

तीन शताब्दियों से भी अधिक समय तक यह अनुमान सिद्ध करने के हर प्रयास पर भारी पड़ा। एंथ्रोपिक के विवरण के अनुसार, 1908 में घोषित 100,000 जर्मन स्वर्ण चिह्नों के पुरस्कार के पहले वर्ष में ही 621 गलत प्रयास हुए। सर एंड्रयू विल्स ने अंततः 1993 में एक सही प्रमाण प्रस्तुत किया - केवल समीक्षकों के लिए सत्यापन में दो महीने के महत्वपूर्ण अंतर को उजागर करना। मई 1995 में निश्चित 129-पृष्ठ संस्करण को प्रकाशित करने से पहले विल्स ने अपने पूर्व छात्र रिचर्ड टेलर के साथ सबूत की मरम्मत में एक साल बिताया, जिसे सत्यापित करने में महीनों की मेहनत लगी।

क्लाउड ने 13 मिलियन लाइन का प्रूफ़ कैसे बनाया

इस परियोजना की शुरुआत एंथ्रोपिक शोधकर्ता तियानयी पेंग ने की थी, जिनका कोलंबिया विश्वविद्यालय में समूह एआई औपचारिकीकरण के लिए उपकरण बनाता है, जिन्होंने यह परीक्षण करने के लिए निर्धारित किया था कि क्या क्लाउड विल्स के प्रमाण को मशीन-चेक करने योग्य रूप में परिवर्तित करने में प्रगति कर सकता है।

दृष्टिकोण में बदलाव के बाद ही प्रयास सफल हुआ। एंथ्रोपिक की रिपोर्ट है कि एजेंटों के शुरुआती प्रयास विफल रहे क्योंकि उन्होंने परियोजना की स्थिति का ट्रैक खो दिया और प्रभावी ढंग से सहयोग करना बंद कर दिया। यह सफलता Prove2Me के साथ आई, जो कोलंबिया में पेंग और सहयोगियों द्वारा डिजाइन किए गए गणित को औपचारिक बनाने के लिए एक खुला सहयोगी मंच है। प्लेटफ़ॉर्म प्रमेय कथनों का एक निर्देशित चक्रीय ग्राफ बनाए रखता है जिसका उपयोग एजेंट यह तय करने के लिए करते हैं कि आगे क्या साबित करना है, कथनों को प्रमाणों से अलग करके लीन संकलन को गति देता है, और एजेंटों को प्रत्येक प्रमेय के प्राकृतिक-भाषा विवरण के माध्यम से परिणामों को खोजने और पुन: उपयोग करने देता है।

क्लाउड कोड-आधारित मल्टी-एजेंट हार्नेस पर चलते हुए, एजेंटों की टीम ने एक आंतरिक अनुसंधान मॉडल से लगभग छह बिलियन आउटपुट टोकन का उपभोग किया, जिसे एंथ्रोपिक लगभग क्लाउड फैबल 5.1 के बराबर बताता है। मानव इनपुट कभी-कभार उच्च-स्तरीय निर्देशों तक सीमित था - एंथ्रोपिक "एक योजना के रूप में जैकोबियन को उच्च प्राथमिकता देता है" जैसे संदेशों का हवाला देता है और मजूर प्रमेय को जल्द ही आगे बढ़ाने का अनुरोध करता है। प्रमाण 18 अगस्त को 02:00 यूटीसी पर पूरा हुआ, जब प्लेटफ़ॉर्म का रूट प्रमेय सिद्ध हो गया।

रास्ते में, क्लाउड ने 30,300 प्रमेयों को सिद्ध किया, जिनमें से 29,500 को अंतिम प्रमाण में उपयोग किया। लीन की 13 मिलियन लाइनों पर, परिणाम औपचारिक गणित के प्रमुख सामुदायिक पुस्तकालय मैथलिब के आकार से पांच गुना अधिक है। यह प्रमाण हेनरी डार्मोन, फ्रेड डायमंड और रिचर्ड टेलर द्वारा विल्स के तर्क की सरलीकृत व्याख्या का अनुसरण करता है, और केविन बज़र्ड के नेतृत्व में इंपीरियल कॉलेज लंदन औपचारिकीकरण परियोजना के टुकड़ों को अनुकूलित करता है।

क्यों एक हल्का प्रमाण प्रश्न का समाधान करता है

जो चीज़ परिणाम को निर्णायक बनाती है वह मध्यस्थ है। लीन जैसे प्रमाण सहायक एल्गोरिथम के आधार पर प्रमाण के तर्क को सत्यापित करते हैं, और एंथ्रोपिक का कहना है कि क्लाउड का प्रमाण केवल लीन के तीन मानक स्वयंसिद्धों का उपयोग करता है, एक तुलनित्र यह पुष्टि करता है कि प्रमेय का कथन मैथलिब के प्रमेय के अपने सूत्रीकरण से मेल खाता है। कंपनी ने GitHub पर एक सार्वजनिक रिपॉजिटरी में इसका प्रमाण भी प्रकाशित किया है।

बज़र्ड, जिन्होंने परिणाम की समीक्षा की, स्पष्ट थे: "यह असाधारण ऑटोफ़ॉर्मलाइज़ेशन उपलब्धि, जिसके बारे में एंथ्रोपिक शोधकर्ताओं का कहना है कि इसमें केवल 11 दिन लगे, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को गणित के सिद्धांतों के अलावा किसी अन्य धारणा के साथ साबित नहीं करता है।"

एंथ्रोपिक नवीनता को सही ढंग से स्थापित करने के लिए सावधान है। रीमैन परिकल्पना पर हाल के एआई-संचालित काम के विपरीत, जिसने उपन्यास गणित का निर्माण किया, यहां कुछ भी नया गणित नहीं है - उपलब्धि सत्यापन है, मौजूदा प्रमाण की जांच करना जिस तरह से एक कैलकुलेटर अंकगणित की जांच करता है। यह देखते हुए कि लीन - एंथ्रोपिक नहीं - शुद्धता पर अंतिम अधिकार है, यह दावा कंपनी के अपने मॉडल के मूल्यांकन पर निर्भर नहीं करता है।

गणित और एआई अनुसंधान के लिए इसका क्या अर्थ है

निहितार्थ दोनों तरह से कटते हैं। गणितज्ञों के लिए, स्वत: औपचारिकीकरण ज्ञान के मौजूदा भंडार में त्रुटियों को पकड़ सकता है और नए परिणामों के लिए रेफरींग बोझ को नाटकीय रूप से हल्का कर सकता है, एक प्रक्रिया जिसमें वर्षों लग सकते हैं। "यदि एफएलटी का स्वत: औपचारिकीकरण अब संभव है, तो हमने आधुनिक गणितीय साहित्य के स्वचालित औपचारिकीकरण की दिशा में एक बड़ा कदम उठाया है," बज़र्ड ने "एंथ्रोपिक हैज़ बीट मी टू इट" शीर्षक वाले एक अनुवर्ती ब्लॉग पोस्ट में लिखा, यह स्वीकार करते हुए कि 2024 में शुरू किया गया उनका अपना समुदाय-नेतृत्व वाला प्रयास आगे निकल गया है।

एआई प्रयोगशालाओं के लिए, परिणाम से पता चलता है कि औपचारिक उपकरण प्रौद्योगिकी की सबसे कुख्यात कमजोरियों में से एक पर लगाम लगा सकते हैं। एंथ्रोपिक नोट करते हैं कि लीन लिखने से क्लाउड को नए परिणाम साबित करने में मदद मिलती है, एजेंट संख्यात्मक सिमुलेशन लिखते समय स्वतंत्र रूप से परिकल्पनाओं की जांच करने के लिए आंशिक औपचारिक प्रमाणों का उपयोग करते हैं। कंपनी का यह भी तर्क है कि प्रवेश की बाधा समाप्त हो रही है: एक छोटे प्रयोग में, तीन व्यक्तिगत क्लाउड मैक्स योजनाएं तीन दिनों में विनोग्रादोव के थ्री प्राइम्स प्रमेय को औपचारिक रूप देने के लिए सहयोगी एजेंटों के लिए पर्याप्त थीं।

चेतावनियाँ वास्तविक बनी हुई हैं। प्रमाण के लिए एक उद्देश्य-निर्मित प्लेटफ़ॉर्म, अरबों टोकन और एक असामान्य रूप से स्वच्छ सफलता मानदंड की आवश्यकता होती है - पहले से मौजूद उत्तर कुंजी की जाँच करना नए प्रमेयों की खोज करने से आसान है। लेकिन एक प्रदर्शन के रूप में कि एआई सिस्टम अब सीमांत पर गणित को औपचारिक रूप दे सकता है, 358 साल की समस्या के मुकाबले 11 दिन इस बात को यथासंभव स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करते हैं।

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