कृत्रिम बुद्धिमत्ता द्वारा निर्मित और इस महीने की शुरुआत में 377 एआई-व्युत्पन्न गणितीय परिणामों के एक बैच के हिस्से के रूप में घोषित एक प्रमाण उन मानव विशेषज्ञों का दिल जीत रहा है जिन्होंने पिछले दो सप्ताह इसे अलग करने में बिताए हैं। 19 अक्टूबर को लिखते हुए, क्वांटा मैगज़ीन ने बताया कि संख्या सिद्धांतकारों ने अब अर्ध-रीमैन परिकल्पना के एआई-जनित प्रमाण को खोल दिया है - रीमैन परिकल्पना का एक कमजोर संस्करण, यकीनन गणित में सबसे बड़ा खुला प्रश्न - और उनका फैसला असामान्य रूप से जोरदार है।
स्टैनफोर्ड यूनिवर्सिटी के जेरेड डुकर लिक्टमैन ने इसे "काफ़ी अंतर से, गणित के लिए अब तक की सबसे महत्वपूर्ण एआई उपलब्धि" कहा। न्यूयॉर्क विश्वविद्यालय के मैक्सीम रैडज़िविल, जिनका अपना काम सबूत के कुछ हिस्सों को रेखांकित करता है, ने निहितार्थों को "चौंकाने वाला" बताया। For more context on this story, see our ongoing latest AI developments.
अर्ध-रीमैन परिकल्पना क्या दावा करती है
रीमैन परिकल्पना 160 से अधिक वर्षों से खुली हुई है। यह रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन और इसके गैर-तुच्छ शून्य के स्थानों से संबंधित है, और यह पूर्णांकों के बीच अभाज्य संख्याओं को कैसे वितरित किया जाता है, इसके साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है। चूँकि अभाज्य संख्याएँ अंकगणित के निर्माण खंड हैं, इसलिए एक प्रमाण संख्या सिद्धांत के विशाल क्षेत्रों को नया आकार देगा।
यह परिकल्पना क्ले मैथमेटिक्स इंस्टीट्यूट द्वारा नामित सात सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याओं में से एक है, और यह डेविड हिल्बर्ट की एक शताब्दी पहले घोषित 23 समस्याओं की प्रसिद्ध सूची से ली गई एकमात्र समस्या थी।
जैसा कि क्वांटा ने बताया है, तकनीकी ढांचे को पीढ़ियों से चरण दर चरण मैप किया गया है। रीमैन ने 1859 में दिखाया कि ज़ेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य यह नियंत्रित करते हैं कि अभाज्य संख्या रेखा के साथ कैसे पतले होते हैं, और साबित किया कि वे केवल एक ऊर्ध्वाधर पट्टी के अंदर बैठ सकते हैं जहां इनपुट का वास्तविक हिस्सा शून्य और एक के बीच होता है। 1896 में, दो गणितज्ञों ने स्वतंत्र रूप से दिखाया कि पट्टी के दाहिने किनारे पर कोई शून्य नहीं है - यह परिणाम अभाज्य संख्या प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त मजबूत है। परिकल्पना स्वयं कहती है कि सभी गैर-तुच्छ शून्य बिल्कुल पट्टी की मध्य रेखा पर बैठते हैं, जहां वास्तविक भाग आधे के बराबर होता है। ऋणात्मक सम पूर्णांकों पर तुच्छ शून्य पहले से ही पूरी तरह से समझे जा चुके हैं। 160 से अधिक वर्षों के प्रयास ने शून्य को कम किए बिना उस पट्टी को संकुचित और जांचा है।
अर्ध-रीमैन परिकल्पना, या अर्ध-आरएच, एक अत्यंत कमज़ोर कथन है। फिर भी इसके परिणाम लगभग दूर तक पहुँचते हैं। रैडज़िविल ने क्वांटा को बताया, "एक तरह से, आरएच के अधिकांश परिणाम पहले से ही अर्ध-आरएच से आते हैं।"
घोषणा से सत्यापन तक
परिणाम पहली बार 6 अक्टूबर को सामने आया, जब ओपनएआई ने अपने एआई सिस्टम से प्राप्त 377 गणितीय परिणामों की घोषणा की। पेशेवर गणितज्ञों के बीच, घोषणा को शुरू में संदेह के साथ मिला - एआई सिस्टम ने पहले दावा किए गए सबूत तैयार किए हैं जो विशेषज्ञ जांच के तहत ध्वस्त हो गए, और सत्यापन लंबे समय से एआई-जनित गणित को स्वीकृत गणित से अलग करने वाली बाधा रही है।
क्वांटा की रिपोर्ट के अनुसार, यह प्रमाण अलग है: अन्य हालिया एआई प्रमाणों के विपरीत, इसे मानव विशेषज्ञों द्वारा खोल दिया गया है। रैडज़िविल, जॉर्जिया इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के अलेक्जेंडर डन और अन्य सहित संख्या सिद्धांतकार घोषणा के बाद से तर्क के माध्यम से काम कर रहे हैं, इसके चरणों की जांच कर रहे हैं और इसे मौजूदा ज्ञान के भीतर स्थित कर रहे हैं।
चेक रुके हुए हैं. "प्रमाण प्रसिद्ध विचारों का एक आश्चर्यजनक संश्लेषण है," डन ने कहा, जिन्होंने रैडज़िविल के साथ उन तकनीकों का बीड़ा उठाया है जिन पर परिणाम आंशिक रूप से निर्भर करता है।
पुराने विचार, छिपे हुए संबंध
गणितज्ञों ने क्वांटा को बताया कि शायद प्रमाण का सबसे महत्वपूर्ण पहलू वह है जिसकी उसे आवश्यकता नहीं थी। इस अपेक्षा के विपरीत कि रीमैन परिकल्पना के कमजोर रूप को भी निपटाने के लिए मौलिक रूप से नई मशीनरी की आवश्यकता होगी, एआई-निर्मित प्रमाण ने कोई नई अवधारणा पेश नहीं की। इसके बजाय, इसने स्थापित लोगों के बीच छिपे हुए संबंधों का पता लगाया, तकनीकों को इस तरह से संयोजित किया कि किसी इंसान ने इसे इकट्ठा नहीं किया था।
वह पैटर्न - नए सिद्धांत के बजाय अप्रत्याशित संश्लेषण के माध्यम से नवीनता - एआई-सहायता प्राप्त गणितीय खोज के हस्ताक्षर के रूप में उभर रहा है, और यह शोधकर्ताओं को इस बात पर पुनर्विचार करने के लिए प्रेरित कर रहा है कि गणित में मशीन का योगदान सबसे पहले कहां पहुंचने की संभावना है।
एआई अनुसंधान के लिए यह क्यों मायने रखता है
सत्यापित परिणाम गणित के लिए एआई के लिए एक मील का पत्थर है, एक ऐसा क्षेत्र जो तर्क मॉडल में सुधार के साथ तेजी से बढ़ा है। ओपनएआई की 6 अक्टूबर की घोषणा, जिसे हमने तब कवर किया था जब इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी ने परिणामों के बैच के बारे में सवाल उठाए थे, एआई-व्युत्पन्न गणित का अब तक का सबसे बड़ा एकल दावा था। अर्ध-आरएच प्रमाण उस बैच का पहला परिणाम है जिसे विस्तृत विशेषज्ञ द्वारा पढ़ा गया है, और यह बच गया है।
एआई प्रयोगशालाओं के लिए, एपिसोड एक ऐसे वर्कफ़्लो को प्रदर्शित करता है जो मानक बन सकता है: मॉडल बड़े पैमाने पर उम्मीदवार प्रमाण तैयार करते हैं, और मानव विशेषज्ञ महत्वपूर्ण परिणामों का परीक्षण, सत्यापन और अवशोषण करते हैं। गणितज्ञों के लिए, तत्काल परिणाम संकीर्ण लेकिन वास्तविक है - रीमैन परिकल्पना के परिणामों का एक समूह जिसे धारण करने के लिए अब पूर्ण अनुमान की आवश्यकता नहीं है।
क्वांटा नोट करता है कि गणितज्ञ केवल इस बात पर काम करना शुरू कर रहे हैं कि क्षेत्र के लिए प्रमाण का क्या अर्थ है। जैसा कि रैडज़िविल ने कहा, निहितार्थ "चौंकाने वाले" हैं - एक विशेषण शायद ही कभी किसी परिणाम से जुड़ा होता है जो पूर्ण परिकल्पना से कम हो जाता है।
यह प्रकरण भविष्य के दावों के लिए एक मानक भी स्थापित करता है। गणितीय सफलताओं की घोषणा करने वाली किसी भी एआई प्रयोगशाला को अब अर्ध-आरएच के विरुद्ध मापा जाएगा: एक दावा किया गया परिणाम जिसे उन विशेषज्ञों द्वारा जांचा, सत्यापित और स्वीकार किया गया है जो इसे खंडन करने के लिए सबसे अच्छी स्थिति में हैं।
इनमें से कोई भी रीमैन परिकल्पना का समाधान नहीं करता है। पूरा अनुमान खुला रहता है, और अर्ध-आरएच सख्ती से कमजोर है। लेकिन पहली बार, एक एआई प्रणाली ने विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के मोर्चे पर एक प्रमाण प्रस्तुत किया है, जिसे क्षेत्र के प्रमुख विशेषज्ञों ने उजागर किया है और समर्थन किया है - एक ऐसा तथ्य जो गणितीय अनुसंधान के भविष्य के बारे में उतना ही कह सकता है जितना कि प्रमेय।
यह लेख 19 अक्टूबर, 2026 को प्रकाशित क्वांटा मैगज़ीन की रिपोर्टिंग पर आधारित है।
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