Kurt Gödel, de logicus die de wiskunde van de 20e eeuw heeft getransformeerd, heeft duizenden pagina's ongepubliceerd werk achtergelaten, geschreven in een verouderde steno die bijna niemand levend kan lezen. Nu heeft kunstmatige intelligentie geholpen deze te ontcijferen – en de resultaten suggereren dat de beroemdste wiskundige geest van de eeuw nog productiever was dan historici dachten.

Volgens een rapport dat vrijdag door The Guardian is gepubliceerd, heeft een AI-ondersteunde analyse van Gödels notitieboekjes onthuld dat hij honderden stellingen heeft bewezen waar niemand van afwist, inclusief resultaten die anticipeerden op ontwikkelingen in de wiskundige logica uit de jaren zeventig en tachtig. Voor meer context over dit verhaal, zie ons AI-trends.

Een cryptisch archief dat slechts zes mensen kunnen lezen

Het verhaal begint met de Finse logicus Jan von Plato van de Universiteit van Helsinki, die sinds 2017 een project leidt om de inhoud te begrijpen van de zestien notitieboekjes die Gödel begin jaren veertig schreef, bekend als de werkboeken. Het materiaal beslaat 1.009 pagina's met dicht geschreven tekst over wiskunde en logica, waarvan een groot deel is geschreven in Gabelsberger, een Duitse steno die al buiten gebruik raakte toen Gödel erin schreef.

Von Plato vertelde The Guardian dat hij een van de slechts zes mensen ter wereld is die de steno kan lezen. De vooruitgang op het gebied van het wiskundig begrijpen van de tekst verliep pijnlijk traag – ongeveer één pagina per week – ondanks financiering van een subsidie ​​van € 2,5 miljoen (£ 2,1 miljoen) van de Europese Onderzoeksraad.

Claude verteert 1.009 pagina's in dagen

Dat tempo veranderde in september, toen Von Plato de hulp inriep van Claude, het AI-model ontwikkeld door Anthropic. Het idee ontstond in augustus, op een conferentie in Frankrijk over AI en het bewijzen van stellingen, waar computerwetenschappers voorstelden om de hulp van het model te gebruiken bij het begrijpen van de werkboeken.

Bij zijn terugkeer naar Helsinki begon Von Plato Claude zijn transcripties van de werkboeken te laten zien, samen met zes boeken die hij eerder over Gödel en andere secundaire wetenschappelijke literatuur had geschreven. Binnen een paar dagen had het model een uitgebreide samenvatting van het gehele materiaal opgeleverd: een uitleg van 650 pagina's over de werkboeken.

"Ik was verbijsterd", vertelde Von Plato aan The Guardian. "De werkboeken bevatten niet alleen tientallen verwachtingen van resultaten die pas in de jaren zeventig en tachtig bekend waren, maar ze bevatten ook veertien thema's in de logica die nog niet zijn nagestreefd. Gödel was zijn tijd ver vooruit."

Hij zorgde ervoor dat de AI-uitvoer verificatie vereiste: "Het moest pagina voor pagina worden gecontroleerd, maar het is in feite een werk dat voor mensen onmogelijk is", zei hij. "Mensen lezen pagina voor pagina en we hebben de neiging dingen te vergeten. Het kost ons een jaar om ongeveer 50 pagina's te lezen. We zijn gewoon niet in staat om alle verschillende delen in gedachten te houden."

"De AI kan alle onderdelen van duizend pagina's met elkaar verbinden", voegde hij eraan toe. "Het kan alle geschriften van Gödel als één geheel beschouwen."

Gödels bewering uit 1966 testen

Een van de eerste taken die Von Plato aan Claude oplegde, had een bijzonder historisch gewicht. In 1966 won de Amerikaanse wiskundige Paul Cohen de Fields Medal voor het bewijzen van de onafhankelijkheid van twee beroemde wiskundige uitspraken: de continuümhypothese en het keuzeaxioma. Gödel reageerde op de prijs van Cohen door te beweren dat hij het resultaat van het axioma van keuze al in de jaren veertig had bewezen - maar toen hij door zijn collega's werd aangespoord, was hij niet in staat een bewijs uit zijn aantekeningen te reconstrueren.

Von Plato vroeg Claude om vast te stellen of de werkboeken daadwerkelijk een bewijs bevatten van de onafhankelijkheid van het keuzeaxioma. Het antwoord kwam terug: ja, bijna. ‘Hij was nog maar één stap verwijderd’, zei Von Plato tegen The Guardian. "Er is één definitie die Gödel verkeerd had, maar hij had twee jaar eerder de juiste definitie, en dus is de gedachte dat hij tot de juiste zou zijn gekomen."

Met andere woorden: Gödels decennia-oude bewering lijkt grotendeels waar te zijn geweest: zijn aantekeningen brachten hem binnen een enkele gebrekkige definitie van een resultaat dat de hoogste eer op dit gebied had opgeleverd.

Waarom het Gödel-resultaat belangrijk is voor AI

Het project is een overtuigende demonstratie van AI als een wetenschappelijk instrument en niet als vervanging voor wetenschap. De samenvatting werd pagina voor pagina gecontroleerd door een van de weinige mensen die in staat waren het bronmateriaal te lezen, en de waarde ervan kwam voort uit het in één keer in beeld houden van een heel archief - een taak die het werkgeheugen van elke menselijke lezer te boven gaat, maar niet het contextvenster van een taalmodel.

Het belandt ook op een moment van intens debat over de rol van AI in de wiskunde. Zoals onze eerdere berichtgeving over Terence Tao's essay over AI en wiskunde opmerkte, bespreken vooraanstaande wiskundigen openlijk hoe machinale assistentie ontdekking en bewijs opnieuw zal vormgeven. De Gödel-werkboeken bieden een concreet vroeg voorbeeld: niet AI die nieuwe stellingen bewijst, maar AI die onthult hoeveel menselijk genie al heeft bewezen en nooit is gepubliceerd.

Voor de geschiedenis van de logica suggereren de bevindingen dat tientallen resultaten die aan latere decennia zijn toegeschreven, voorlopers hadden die ongelezen in de archieven van Princeton zaten, en dat veertien onontdekte thema's in Gödels aantekeningen nog steeds nieuw werk kunnen opleveren. Voor AI-onderzoek is de aflevering een casestudy van verificatie-eerst-samenwerking: het model produceerde een synthese die geen mens kon maken, en de mens ving, controleerde en contextualiseerde elke pagina ervan.

Gödel, die in 1940 Oostenrijk ontvluchtte en een goede vriend van Albert Einstein werd aan het Princeton Institute for Advanced Study, stierf in 1978. Veertig jaar later worden de notitieboekjes die hij achterliet eindelijk volledig gelezen – met hulp van een machine, geleid door een van de zes mensen op aarde die het alleen hadden kunnen doen.

---

Blijf Voorop met AI

Het laatste AI-nieuws, analyses en doorbraken — allemaal op één plek.

Lees meer AI-nieuws →