นักคณิตศาสตร์ด้านมานุษยวิทยาคนหนึ่งได้ใช้แบบจำลองภาษาขนาดใหญ่ของบริษัทเพื่อพิสูจน์หักล้างการคาดเดาทางคณิตศาสตร์ที่ขัดขืนการแก้ปัญหามาเป็นเวลา 87 ปี ถือเป็นตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดอย่างหนึ่งของปัญญาประดิษฐ์ที่พัฒนาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์
Levent Alpöge นักคณิตศาสตร์ของบริษัท AI Anthropic ประกาศว่าเขาได้ค้นพบตัวอย่างที่ขัดแย้งกับการคาดเดาแบบจาโคเบียน ซึ่งเป็นปัญหาที่มีชื่อเสียงและยาวนานในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต เขาบรรลุผลโดยใช้แบบจำลอง Claude Fable 5 ของ Anthropic ซึ่งเผยแพร่สู่สาธารณะเมื่อไม่กี่สัปดาห์ก่อน การค้นพบนี้รายงานครั้งแรกโดย ScienceDaily และ SciTechDaily และดึงมาจากบทความที่ตีพิมพ์ครั้งแรกใน The Conversation ได้ส่งกระแสความตื่นเต้นผ่านชุมชนคณิตศาสตร์ สำหรับผู้อ่านที่ติดตาม การพัฒนา AI ล่าสุด ผลลัพธ์ที่ได้ตอกย้ำว่าโมเดลระดับแนวหน้าเปลี่ยนจากเทคนิคในห้องนั่งเล่นไปสู่งานทางวิทยาศาสตร์ที่มีประสิทธิผลอย่างแท้จริงได้รวดเร็วเพียงใด
สูตรเล็กพอสำหรับโพสต์เดียว
สิ่งที่ทำให้การพัฒนาครั้งนี้น่าตกใจก็คือความกะทัดรัด จากข้อมูลของ SciTechDaily ตัวอย่างการโต้แย้งเป็นฟังก์ชันสามมิติที่เรียบง่ายอย่างน่าทึ่ง ซึ่งเป็นสูตรที่สั้นพอที่จะใส่ลงในโพสต์เดียวบน X ตัวอย่างการโต้แย้งที่ได้รับความช่วยเหลือจาก AI จะหักล้างการคาดเดาของจาโคเบียนที่อยู่เหนือสองมิติ ในขณะที่ยังคงเปิดรูปแบบสองมิติดั้งเดิมของการคาดเดาไว้
ความแตกต่างนั้นสำคัญ ผลลัพธ์ไม่ได้ช่วยแก้ปัญหาทั้งหมดซึ่งมีมาตั้งแต่ศตวรรษที่ 19 แต่กลับเผยให้เห็นขีดจำกัดที่ไม่คาดคิด กล่าวคือ การคาดเดาในมิติที่สูงกว่าโดยทั่วไปนั้นเป็นเท็จ แม้ว่ากรณีที่นักคณิตศาสตร์แต่เดิมสนใจส่วนใหญ่ยังคงไม่ได้รับการแก้ไขก็ตาม
ประวัติศาสตร์เบื้องหลังปัญหา
การคาดเดาแบบจาโคเบียนเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันพหุนาม ซึ่งเป็นเครื่องจักรทางคณิตศาสตร์ที่รับตัวเลขและสร้างตัวเลขใหม่โดยทำตามกฎข้อใดข้อหนึ่ง ในการตั้งค่านี้ ตัวเลขสามารถแสดงถึงจุดในช่องว่างได้ เช่น พิกัดบนแผนที่ ฟังก์ชันใช้พิกัดเหล่านั้นและแปลงพิกัด โดยย้ายจุดไปยังตำแหน่งต่างๆ นักคณิตศาสตร์สามารถตรวจสอบได้ว่าฟังก์ชันจัดเรียงปริภูมิใหม่ได้อย่างราบรื่นเพียงใดโดยการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียน โดยพื้นฐานแล้วการคาดเดาจะถามว่า: ถ้าดีเทอร์มิแนนต์นั้นเป็นค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ ฟังก์ชันนั้นจำเป็นต้องมีค่าผกผันพหุนามหรือไม่?
ปัญหามีประวัติเป็นเรื่องราว คำนี้ระบุครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเช็ก ลุดวิก เคราส์ ในปี พ.ศ. 2427 จากนั้นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ออตต์-ไฮน์ริช เคลเลอร์ ได้กล่าวถึงในมิติต่างๆ มากมาย ในปี พ.ศ. 2482 ถือว่ามีความสำคัญมากที่ผู้ชนะเลิศสาขา Fields Stephen Smale รวมไว้ในรายการปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลของเขาในปี 1998 สำหรับศตวรรษหน้า
ตลอดอายุขัยที่ยาวนาน การคาดเดานี้ดึงดูดข้อพิสูจน์มากมาย ซึ่งรวมถึงความพยายามของ Beniamino Segre และ Wolfgang Gröbner นักคณิตศาสตร์ผู้โด่งดังสองคนในศตวรรษที่ 20 ไม่มีผู้ใดยืนหยัด ความจริงที่ว่าตอนนี้ตัวอย่างโต้แย้งได้ปรากฏขึ้นแล้ว ด้วยความช่วยเหลือจากแบบจำลองสไตล์แชทบอท แสดงให้เห็นว่า AI พิสูจน์ว่ามีประโยชน์ในการค้นหาวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ไม่คาดคิดได้อย่างไร เช่นเดียวกับการสร้างการพิสูจน์
เหตุใดคดีมิติสูงจึงล่มสลาย
ความแตกต่างที่สำคัญคือระหว่างสองถึงสามมิติ (หรือมากกว่า) การคาดเดาจาโคเบียนสองมิติดั้งเดิม ซึ่งเป็นเวอร์ชันที่ใช้เรขาคณิตพีชคณิตมาหลายชั่วอายุคน ยังคงเปิดอยู่ สิ่งที่Alpögeและ Claude Fable 5 พบเป็นตัวอย่างแย้งในสามมิติ ซึ่งเพียงพอที่จะล้มการคาดเดาทั่วไปที่ Keller กำหนดขึ้นในปี 1939
นั่นเป็นผลลัพธ์ที่มีความหมายในตัวมันเอง นักวิจัยหลายคนสงสัยว่าหากการคาดเดาเป็นจริง มันจะเป็นจริงทุกที่ ตัวอย่างโต้กลับที่ชัดเจนในมิติสามมิติจะจำกัดพื้นที่ของความเป็นไปได้ให้แคบลง และตั้งกรอบคำถามที่เหลือใหม่: สองมิติมีความพิเศษอย่างแท้จริง หรือมีตัวอย่างโต้แย้งที่ซุ่มซ่อนอยู่ที่นั่นด้วยหรือไม่
ความกะทัดรัดของตัวอย่างแย้งนั้นน่าทึ่งในตัวมันเอง Fortune รายงานว่านักคณิตศาสตร์กำลังต่อสู้กับ "การเปลี่ยนแปลงที่รวดเร็วและไม่มั่นคงมาก" เนื่องจากเครื่องมือ AI ไขปัญหาเก่าแก่หลายศตวรรษทีละรายการ สูตรเล็กๆ น้อยๆ ที่จะโค่นล้มปัญหาที่ได้รับการรับรองโดย Fields Medalist นั้นเป็นการพัฒนาที่กระตุ้นให้เกิดความไม่สบายใจ และความตื่นเต้นนั้น
บทบาทที่เพิ่มขึ้นของ AI ในวิชาคณิตศาสตร์
นักคณิตศาสตร์ที่ทำงานกับแบบจำลองภาษาขนาดใหญ่ได้ให้ผลลัพธ์ที่น่าทึ่งหลายประการเมื่อเร็วๆ นี้ และตัวอย่างแย้งการคาดเดาแบบจาโคเบียนก็โดดเด่นจากความก้าวหน้าก่อนหน้านี้มากมาย แทนที่จะค้นหาอย่างดุเดือด การทำงานร่วมกันระหว่างAlpögeและ Claude Fable 5 ทำให้เกิดคำตอบที่กระชับและมนุษย์ตรวจสอบได้ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่นักคณิตศาสตร์สามารถตรวจสอบและสร้างได้
การค้นพบนี้ยังเน้นย้ำถึงรูปแบบที่กว้างขึ้น โมเดล Frontier มีความสามารถมากขึ้นในการสำรวจพื้นที่เชิงผสมผสานอันกว้างใหญ่ และเสนอวัตถุที่อาจมนุษย์จะไม่มีวันสะดุดได้ เมื่อผู้สมัครเหล่านี้มีขนาดไม่เพียงพอที่จะตรวจสอบด้วยมือ การผสมผสานระหว่างความกว้างของ AI และการตัดสินของมนุษย์จะมีประสิทธิภาพมากขึ้น
มันหมายถึงอะไรสำหรับอนาคต
สิ่งนี้มีความหมายอย่างไรต่ออนาคตของคณิตศาสตร์ — และสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่เป็นมนุษย์ — ยังคงต้องรอดูกันต่อไป ดังที่ SciTechDaily ระบุไว้ ตัวอย่างโต้แย้งไม่ได้ทำให้นักคณิตศาสตร์ล้าสมัย หากมีสิ่งใดจะทำให้คำถามเปิดคมชัดขึ้นและมอบเป้าหมายใหม่ให้กับนักวิจัย แต่มันตอกย้ำว่า AI ได้ก้าวไปไกลกว่าการสรุปหนังสือเรียนและเข้าสู่หัวใจของงานสร้างสรรค์ทางคณิตศาสตร์
ผลลัพธ์ที่ได้คือการตรวจสอบความถูกต้องระดับสูงสำหรับ Anthropic Claude Fable 5 ซึ่งเผยแพร่สู่สาธารณะเพียงไม่กี่สัปดาห์ก่อนการค้นพบ ถูกใช้โดยหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ของบริษัทเพื่อแก้ไขปัญหาที่ขัดขวางผู้มีความคิดที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในศตวรรษที่ผ่านมา สำหรับบริษัทที่แข่งขันกันเพื่อแสดงให้เห็นว่าโมเดลของตนสามารถหาเหตุผลได้ที่ชายแดน มีการรับรองเพียงไม่กี่รายการเท่านั้นที่น่าเชื่อถือมากกว่าการคาดเดาในปี 1939 ที่ในที่สุดก็แตกร้าว
ก้าวนำหน้า AI
การค้นพบที่ขับเคลื่อนด้วย AI กำลังเร่งตัวอย่างรวดเร็วในสาขาวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และอุตสาหกรรม บุ๊กมาร์กโต๊ะ ข่าว AI ด่วน ของเราเพื่อรายงานข่าวโมเดล ความก้าวหน้าทางการวิจัย และการเปลี่ยนแปลงนโยบายอย่างต่อเนื่อง
อ่านข่าว AI เพิ่มเติม →
