Matematik için yapay zeka sistemleri geliştiren San Francisco merkezli bir şirket olan Axiom Math, matematik tarihindeki en uzun kanıt olarak tanımlanan Sonlu Basit Grupların Sınıflandırılmasının (CFSG) ilk bilgisayar kontrollü kanıtını yayınladı. Şirketin duyurusuna göre mühendisler ve matematikçiler, Yalın kanıt asistanında yaklaşık 43,1 milyon satır kod üretmek için düzinelerce yapay zeka ajanını yalnızca 24 gün içinde yönetti ve bu, daha önce birkaç on yılda yaklaşık 100 matematikçi tarafından yazılan 500'den fazla dergi makalesinde yaklaşık 15.000 sayfaya yayılan bir sonucu doğruladı.
Bu başarı, makine destekli matematiğin hızla ivme kazandığı ve Yapay Zeka araştırma haberlerini takip eden yayın kuruluşlarının, resmi doğrulamanın niş bir uygulamadan öncü bir yeteneğe geçişini izlediği bir zamanda gerçekleşti. Bu sürümü alışılmadık kılan şey ölçektir: biçimlendirme, 100 kilometre taşı halinde düzenlenmiş yaklaşık 2,05 milyon bildirim içerir; bunların her biri, her mantıksal adımı doğrulayan küçük güvenilir çekirdek olan Lean çekirdeği tarafından kontrol edilir.
Sınıflandırma Aslında Ne Diyor?
Sonlu basit gruplar, sonlu simetrinin bölünmez yapı taşlarıdır ve "muazzam teorem" olarak adlandırılan sınıflandırma, bunların tam bir listesini verir. Projenin belgelerine göre, her sonlu basit grup dört türden biridir: asal mertebeden döngüsel bir grup, en az beş sembolden oluşan alternatif bir grup, sonlu alanlar üzerinde inşa edilmiş Lie tipi grupların on altı sonsuz ailesinden biri veya hiçbir aileye uymayan tam olarak 26 sporadik gruptan biri.
Bu listenin tüm olasılıkları kapsadığını kanıtlamak, bir asırlık kolektif çabanın büyük kısmını gerektirdi. Çalışmaları sınıflandırmanın merkezinde yer alan John Thompson, 1970'te Fields Madalyası'nı ve 2008'de Abel Ödülü'nü aldı. Kanıt o kadar uzundu ve makaleler ve matematikçiler arasında o kadar dağılmıştı ki, onun tamlığı konusunda devam eden şüpheler onlarca yıldır devam ediyordu; bu resmileştirmenin artık resmen ortadan kaldırdığı şüpheler.
500 Kaynakta Ajan Sürüleri
Orijinal kanıt, çoğu onlarca yıl önce uyumsuz notasyonlarla yazılmış 500'den fazla makale ve kitaba dağılmış durumda. Bir Axiom mühendisi, Hacker News'in sürümle ilgili tartışmasında yöntemi açıkladı: Bir grup ajan, tüm bu kaynakları incelemekle görevlendirildi; işin zor kısmı, her şeyi tutarlı bir bütün halinde bir araya getirmekti; çünkü aynı resmi olmayan kavram, biraz farklı ama matematiksel olarak uyumsuz şekillerde biçimlendirilebilir.
Şirketin blog yazısı, bu çabanın başlangıçtan piyasaya sürülmesine kadar 24 gün sürdüğünü, insan mühendislerin ve matematikçilerin satır satır çalışmak yerine ajan sürülerini yönlendirdiğini belirtiyor. Sonuç, sınır modelleriyle üretilen önemli klasik teoremlerin Yalın kanıtları da dahil olmak üzere, 2026'daki daha önceki yüksek profilli otomatik biçimlendirme kilometre taşlarını takip ediyor, ancak daha önceki hiçbir projenin yaklaşmadığı bir ölçekte.
34 Yayınlanan Kayıttan Sapmalar
Yayınlanan kanıtın makine tarafından kontrol edilebilir forma çevrilmesi, matematik literatüründeki gerçek sorunları ortaya çıkardı. Axiom, çoğu sorunun küçük (tipografik hatalar, tablolardaki hatalar veya atlanan hipotezler) olduğunu bildiriyor. Ancak resmileştirmeden önce çözülmesi gereken, yayınlanan kayıttan 34 kayda değer sapma vardı.
Bunlardan en önemlisi Dengesiz Grup Teoremi ile ilgiliydi. Ekip, sonuca giden birinci nesil rotayı resmileştirirken, yayınlanmış bir argümanda kullanılan kapanış iddiasına karşı örnekler buldu. Uzman grup teorisyenlerine danışarak, Daniel Gorenstein dönemi yapısal teknikleri (özellikle 1970'lerdeki maksimum 2 bileşenli teori) üzerine inşa edilmiş alternatif bir rota oluşturdular ve düzeltmeyi, ön baskı 2610.00575 olarak yayınlanan 35 sayfalık yeni bir grup teorisi makalesi olarak yayınladılar. Şirket, sınıflandırmanın dayandığı grup teorisyenlerine danışılarak derlenen, matematik camiasının yararına uzun bir hata listesi yayınlayacağını açıkladı.
Makine Kontrollü Matematik Neden Önemlidir
Bir formalleştirmenin değeri yalnızca bir bilgisayarın kanıtı onaylaması değildir. Yalın bir resmileştirme, güven tabanını, dağınık uzmanlar tarafından okunan binlerce sayfanın birikmiş güveni yerine, küçük, yoğun şekilde denetlenen bir program olan kanıt asistanının çekirdeğine indirger. Hikayenin yüzlerce olumlu oy aldığı Hacker News başlığındaki yorumcular, sınıflandırmanın neden geçerli olduğuna dair ampirik bilginin, orijinal nesil matematikçiler emekliye ayrıldıkça kelimenin tam anlamıyla yok olma riskiyle karşı karşıya olduğunu, çünkü tek bir kişinin tüm argümanı kafasında tutamadığını belirtti.
Fizikte başka yerlerde de pratik yankılar var. 26 ara sıra grubun en büyüğü olan Monster grubu, sonlu simetriyi modüler işlevlere bağlayan "canavar ay ışığı" programında (Richard Borcherds'a 1998'de Fields Madalyası kazandıran çalışma) ve Edward Witten'in Monster'ın simetrilerini basitleştirilmiş üç boyutlu bir evrendeki kara delik entropisine bağlayan 2007 önerisinde yer alıyor. Doğrulanmış bir sınıflandırma, tam olarak bu tür disiplinler arası uygulamalar için altta yatan yapısal matematiği daha sağlam bir zemine yerleştirir.
Sırada Ne Var?
Axiom, yazım hatası projesinin yanı sıra resmileştirmeden elde edilen daha fazla makalenin de yolda olduğunu söylüyor. Resmi yöntemler topluluğu için sürüm, aracıya yönelik doğrulama projelerinin deneyebileceği yeni bir ölçüt belirliyor; matematik için, yarım asırlık ortak bir başarıyı, herhangi bir bilgisayarın kontrol edebileceği tek bir esere dönüştürür. Sınıflandırmaya artık sadece inanılmıyor. Artık, kelimenin tam anlamıyla kanıtlanmıştır ve kanıt, herkesin indirip doğrulayabilmesi için mevcuttur.
