Kurt Gödel, der Logiker, der die Mathematik des 20. Jahrhunderts veränderte, hinterließ Tausende Seiten unveröffentlichter Werke, die in einer veralteten Kurzschrift verfasst waren, die fast niemand mehr lesen kann. Jetzt hat künstliche Intelligenz dabei geholfen, sie zu entschlüsseln – und die Ergebnisse deuten darauf hin, dass der berühmteste mathematische Geist des Jahrhunderts noch produktiver war, als Historiker glaubten.

Laut einem am Freitag von The Guardian veröffentlichten Bericht hat eine KI-gestützte Analyse von Gödels Notizbüchern ergeben, dass er Hunderte von Theoremen bewiesen hat, von denen niemand etwas wusste, darunter Ergebnisse, die Entwicklungen in der mathematischen Logik der 1970er und 1980er Jahre vorwegnahmen. Weitere Informationen zu dieser Geschichte finden Sie in unserer neueste KI-Entwicklungen.

Ein kryptisches Archiv, das nur sechs Personen lesen können

Die Geschichte beginnt mit dem finnischen Logiker Jan von Plato von der Universität Helsinki, der seit 2017 ein Projekt leitet, um den Inhalt von 16 Notizbüchern zu verstehen, die Gödel Anfang der 1940er Jahre schrieb und die als Arbeitsbücher bekannt sind. Das Material umfasst 1.009 Seiten dicht geschriebenen Textes über Mathematik und Logik, ein Großteil davon in Gabelsberger verfasst, einer deutschen Kurzschrift, die bereits nicht mehr verwendet wurde, als Gödel darin schrieb.

Von Plato sagte gegenüber The Guardian, er sei einer von nur sechs Menschen auf der Welt, die die Stenografie lesen können. Der Fortschritt beim mathematischen Verständnis des Textes war quälend langsam – etwa eine Seite pro Woche – trotz der Finanzierung durch einen Zuschuss in Höhe von 2,5 Millionen Euro (2,1 Millionen Pfund) vom Europäischen Forschungsrat.

Claude verdaut 1.009 Seiten in Tagen

Dieses Tempo änderte sich im September, als von Plato die Hilfe von Claude, dem von Anthropic entwickelten KI-Modell, in Anspruch nahm. Die Idee kam im August auf einer Konferenz in Frankreich über KI und Theorembeweis, wo Informatiker ihm vorschlugen, die Hilfe des Modells zu nutzen, um den Arbeitsbüchern einen Sinn zu geben.

Nach seiner Rückkehr nach Helsinki begann von Plato, Claude seine Transkriptionen der Arbeitsbücher sowie sechs Bücher, die er zuvor über Gödel und andere sekundäre wissenschaftliche Literatur geschrieben hatte, zu zeigen. Innerhalb weniger Tage hatte das Modell eine umfassende Zusammenfassung des gesamten Materials erstellt – eine 650-seitige Erläuterung der Arbeitsbücher.

„Ich war verblüfft“, sagte von Plato gegenüber The Guardian. „Die Arbeitsbücher enthalten nicht nur Dutzende Vorwegnahmen von Ergebnissen, die bis in die 70er und 80er Jahre nicht bekannt waren, sondern sie enthalten auch 14 Themen der Logik, die nicht weiterverfolgt wurden. Gödel war seiner Zeit weit voraus.“

Er achtete sorgfältig darauf, dass die KI-Ausgabe einer Überprüfung bedarf: „Sie musste Seite für Seite kontrolliert werden, aber im Grunde ist es eine Arbeit, die für Menschen unmöglich zu erledigen ist“, sagte er. „Menschen lesen eine Seite nach der anderen und neigen dazu, Dinge zu vergessen. Wir brauchen ein Jahr, um etwa 50 Seiten zu lesen. Wir sind einfach nicht in der Lage, uns an alle einzelnen Teile zu erinnern.“

„Die KI kann alle Teile auf tausend Seiten verbinden“, fügte er hinzu. „Es kann alle Schriften Gödels als ein Ganzes betrachten.“

Prüfung von Gödels Behauptung von 1966

Eine der ersten Aufgaben, die Platon Claude stellte, hatte besondere historische Bedeutung. 1966 gewann der amerikanische Mathematiker Paul Cohen die Fields-Medaille für den Beweis der Unabhängigkeit zweier berühmter mathematischer Aussagen: der Kontinuumshypothese und des Auswahlaxioms. Gödel reagierte auf Cohens Preis mit der Behauptung, er habe das Ergebnis des Auswahlaxioms bereits in den 1940er Jahren bewiesen – doch auf Drängen seiner Kollegen war er nicht in der Lage, einen Beweis aus seinen Notizen zu rekonstruieren.

Von Platon bat Claude herauszufinden, ob die Arbeitsbücher tatsächlich einen Beweis für die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms enthielten. Die Antwort kam zurück: Ja, fast. „Er war nur einen Schritt entfernt“, sagte von Plato gegenüber The Guardian. „Es gibt eine Definition, bei der Gödel sich geirrt hat, aber er hatte zwei Jahre zuvor die richtige Definition, und so geht man davon aus, dass er zur richtigen Definition gelangt wäre.“

Mit anderen Worten: Gödels jahrzehntealte Behauptung scheint im Wesentlichen wahr gewesen zu sein – seine Notizen brachten ihn innerhalb einer einzigen fehlerhaften Definition eines Ergebnisses, das die höchste Auszeichnung der Branche einbrachte.

Warum das Gödel-Ergebnis für die KI wichtig ist

Das Projekt ist eine überzeugende Demonstration der KI als wissenschaftliches Instrument und nicht als Ersatz für Wissenschaft. Der Digest wurde Seite für Seite von einem der wenigen Menschen überprüft, die in der Lage waren, das Quellmaterial zu lesen, und sein Wert bestand darin, ein ganzes Archiv auf einmal im Blick zu haben – eine Aufgabe, die das Arbeitsgedächtnis eines menschlichen Lesers übersteigt, nicht jedoch das Kontextfenster eines Sprachmodells.

Es landet auch in einem Moment intensiver Debatte über die Rolle der KI in der Mathematik. Wie in unserer früheren Berichterstattung über Terence Taos Essay über KI und Mathematik festgestellt wurde, diskutieren führende Mathematiker offen darüber, wie maschinelle Unterstützung Entdeckung und Beweis neu gestalten wird. Die Gödel-Arbeitsbücher bieten ein konkretes frühes Beispiel: Nicht die KI beweist neue Theoreme, sondern die KI enthüllt, wie viel menschliches Genie bereits bewiesen und nie veröffentlicht wurde.

Was die Geschichte der Logik betrifft, deuten die Ergebnisse darauf hin, dass Dutzende von Ergebnissen, die späteren Jahrzehnten zugeschrieben werden, Vorläufer hatten, die ungelesen in den Archiven von Princeton lagen, und dass 14 unerforschte Themen in Gödels Notizen möglicherweise noch neue Arbeiten hervorbringen. Für die KI-Forschung ist die Episode eine Fallstudie zur Zusammenarbeit, bei der die Verifizierung an erster Stelle steht: Das Modell erzeugte eine Synthese, die kein Mensch konnte, und der Mensch erfasste, überprüfte und kontextualisierte jede Seite davon.

Gödel, der 1940 aus Österreich floh und Albert Einsteins enger Freund am Institute for Advanced Study in Princeton wurde, starb 1978. Vier Jahrzehnte später werden die von ihm zurückgelassenen Notizbücher endlich vollständig gelesen – mit Hilfe einer Maschine, gesteuert von einem der sechs Menschen auf der Erde, die es alleine hätten schaffen können.

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