מתמטיקאי אנתרופי השתמש במודל השפה הגדול של החברה כדי להפריך השערה מתמטית שהתנגדה לרזולוציה במשך 87 שנים, והביאה את אחת הדוגמאות הבולטות ביותר עד כה לבינה מלאכותית לקידום מתמטיקה טהורה.
Levent Alpöge, מתמטיקאי בחברת AI Anthropic, הודיע כי מצא דוגמה נגדית להשערה היעקוביאנית, בעיה מפורסמת וארוכת שנים בגיאומטריה האלגברית. הוא הגיע לתוצאה באמצעות דגם קלוד פייבל 5 של אנתרופיק, ששוחרר לציבור רק שבועות קודם לכן. התגלית, שדווחה לראשונה על ידי ScienceDaily ו-SciTechDaily ונלקחה ממאמר שפורסם במקור ב-The Conversation, שיגרה גל של התרגשות בקרב הקהילה המתמטית. לקוראים שעוקבים אחר הפיתוחים האחרונים של AI, התוצאה מדגישה באיזו מהירות מודלים חזיתיים עוברים מתחבולות סלון לעבודה מדעית פרודוקטיבית באמת.
נוסחה קטנה מספיק לפוסט בודד
מה שהופך את פריצת הדרך לכל כך מבהילה הוא הקומפקטיות שלה. לפי SciTechDaily, הדוגמה הנגדית היא פונקציה תלת מימדית פשוטה להפליא - נוסחה קצרה מספיק כדי להיכנס לפוסט בודד ב-X. הדוגמה הנגדית בסיוע בינה מלאכותית מפריכה את ההשערה היעקוביאנית מעל שני מימדים, תוך שהיא משאירה את הצורה הדו-ממדית המקורית של ההשערה פתוחה.
הניואנס הזה חשוב. התוצאה אינה מיישבת את כל הבעיה, שעמדה על כנו מאז המאה ה-19. במקום זאת, היא חושפת גבול בלתי צפוי: הגרסה המוכללת והממדית הגבוהה יותר של ההשערה היא שקרית, למרות שהמקרה שלמתמטיקאים במקור היה אכפת ממנו ביותר נותר בלתי פתור.
ההיסטוריה מאחורי הבעיה
ההשערה היעקוביאנית נוגעת לפונקציות פולינומיות - מכונות מתמטיות שמקבלות מספרים ומייצרות מספרים חדשים על ידי ביצוע כלל מסוים. בהגדרה זו, מספרים יכולים לייצג נקודות במרחב, כמו קואורדינטות במפה. פונקציה לוקחת את הקואורדינטות הללו והופכת אותן, ומזיזה את הנקודות למיקומים שונים. מתמטיקאים יכולים לבחון באיזו צורה חלקה פונקציה מסדרת מחדש את המרחב על ידי חישוב הקובע היעקוביאני שלה. ההשערה בעצם שואלת: אם הדטרמיננט הזה הוא קבוע שאינו אפס, האם לפונקציה יש בהכרח הפוך פולינום?
לבעיה יש היסטוריה סיפורית. זה הוצהר לראשונה על ידי המתמטיקאי הצ'כי לודוויג קראוס בשנת 1884, ולאחר מכן הוכלל לכל מספר ממדים על ידי המתמטיקאי הגרמני אוט-היינריך קלר בשנת 1939. זה נחשב כל כך חשוב עד שמדליסט פילדס סטיבן סמאל כלל אותו ברשימת הבעיות המתמטיות המשפיעות שלו משנת 1998 למאה הבאה.
במהלך חייה הארוכים, ההשערה משכה הוכחות רבות, כולל ניסיונות של בניאמינו סגרה ווולפגנג גרובנר, שני מתמטיקאים מהוללים מהמאה ה-20. אף אחד לא החזיק מעמד. העובדה שדוגמה נגדית צצה כעת - בעזרת מודל בסגנון צ'טבוט - ממחישה כיצד AI מוכיחה את עצמה כמועילה לגילוי אובייקטים מתמטיים בלתי צפויים כמו לבניית הוכחות.
מדוע נפל המקרה בעל המימדים הגבוהים
ההבחנה העיקרית היא בין שניים לתלת מימד (או יותר). ההשערה היעקוביאנית הדו-ממדית המקורית, הגרסה שמעסיקה גאומטרים אלגבריים במשך דורות, עדיין פתוחה. מה שמצאו אלפוגה וקלוד פייבל 5 הוא דוגמה נגדית בתלת מימד, שמספיקה כדי להפיל את ההשערה הכללית שגיבש קלר ב-1939.
זו תוצאה משמעותית בפני עצמה. חוקרים רבים חשדו שאם ההשערה הייתה נכונה בכלל, היא תהיה נכונה בכל מקום. דוגמה נגדית נקייה בממד שלוש מצמצמת את מרחב האפשרויות וממסגרת מחדש את השאלה שנותרה: האם שני ממדים באמת מיוחדים, או שמא אורבת שם גם דוגמה נגדית?
קוצר הדוגמה הנגדית הוא כשלעצמו מדהים. Fortune דיווח שמתמטיקאים מתמודדים עם "שינוי מהיר מאוד ומדאיג מאוד" כאשר כלי בינה מלאכותית מפצחים בעיות בנות מאה שנים בזה אחר זה. נוסחה קטנטנה שמפילה בעיה שאושרה על ידי מדליסט פילדס היא בדיוק סוג הפיתוח שמניע את אי הנוחות הזו - ואת ההתרגשות הזו.
התפקיד ההולך וגדל של בינה מלאכותית במתמטיקה
מתמטיקאים העובדים עם מודלים של שפה גדולים הניבו לאחרונה כמה תוצאות בולטות, וההשערה הנגדית של היעקוביאנית עומדת בנפרד מהתקדמות קודמת רבות. במקום לטחון דרך חיפוש בכוח גס, שיתוף הפעולה בין אלפוגה וקלוד פייבל 5 הניב תשובה תמציתית וניתנת לבדיקה אנושית - סוג הפלט שמתמטיקאים יכולים לאמת ולבנות עליה.
התגלית גם מדגישה דפוס רחב יותר. מודלים של Frontier מסוגלים יותר ויותר לחקור מרחבים קומבינטוריים עצומים ולהציע אובייקטים מועמדים שאדם עלול לא להיתקל בהם לעולם. כאשר המועמדים הללו נמוכים מספיק כדי לאמת ביד, השילוב של רוחב AI ושיקול דעת אנושי הופך לעוצמתי.
מה זה אומר לעתיד
מה זה אומר לגבי עתיד המתמטיקה - ועבור מתמטיקאים אנושיים - נותר לראות, כפי שציין SciTechDaily. הדוגמה הנגדית אינה הופכת את המתמטיקאים למיושנים; אם כבר, זה מחדד את השאלה הפתוחה ומעניק לחוקרים יעד חדש ומדויק. אבל זה כן מחזק את העובדה שה-AI עברה מעבר לסיכום ספרי לימוד ואל לבה של עבודה מתמטית יצירתית.
התוצאה היא גם אימות בעל פרופיל גבוה עבור Anthropic. קלוד פייבל 5, ששוחרר לציבור רק שבועות לפני הגילוי, שימש את אחד מהמתמטיקאים של החברה עצמה כדי לפתור בעיה שסיכלה כמה מגדולי המוחות של המאה הקודמת. כדי שחברה דוהרת כדי להוכיח שהדגמים שלה יכולים לחשוב על הגבול, כמה אישורים מהימנים יותר מאשר השערה משנת 1939 שבסופו של דבר נסדקת.
הישאר לפני AI
קצב הגילוי המונע בינה מלאכותית מואץ במדע, במתמטיקה ובתעשייה. הוסף סימניה לדלפק חדשות הבינה המלאכותית שלנו לסיקור רציף של מהדורות דגמים, פריצות דרך מחקר ושינויי מדיניות.
קרא עוד חדשות AI →
