Un matematico antropico ha utilizzato il vasto modello linguistico dell'azienda per confutare una congettura matematica che ha resistito alla risoluzione per 87 anni, fornendo uno degli esempi più sorprendenti finora di intelligenza artificiale che fa avanzare la matematica pura.
Levent Alpöge, un matematico della società di intelligenza artificiale Anthropic, annunciò di aver trovato un controesempio alla congettura Jacobiana, un famoso e annoso problema di geometria algebrica. Ha raggiunto il risultato utilizzando il modello Claude Fable 5 di Anthropic, che era stato rilasciato al pubblico solo poche settimane prima. La scoperta, riportata per la prima volta da ScienceDaily e SciTechDaily e tratta da un articolo originariamente pubblicato su The Conversation, ha suscitato un'ondata di entusiasmo nella comunità matematica. Per i lettori che seguono gli ultimi sviluppi dell’intelligenza artificiale, il risultato sottolinea la rapidità con cui i modelli di frontiera si stanno trasformando da trucchi di società in lavoro scientifico genuinamente produttivo.
Una formula abbastanza piccola per un singolo post
Ciò che rende la svolta così sorprendente è la sua compattezza. Secondo SciTechDaily, il controesempio è una funzione tridimensionale straordinariamente semplice: una formula abbastanza breve da stare in un singolo post su X. Il controesempio assistito dall'intelligenza artificiale confuta la congettura Jacobiana sopra le due dimensioni, lasciando aperta la forma bidimensionale originale della congettura.
Questa sfumatura è importante. Il risultato non risolve l’intero problema, che esiste dal 19° secolo. Invece, espone un limite inaspettato: la versione generalizzata e di dimensione superiore della congettura è falsa, anche se il caso che originariamente interessava di più ai matematici rimane irrisolto.
La storia dietro il problema
La congettura Jacobiana riguarda le funzioni polinomiali: macchine matematiche che acquisiscono numeri e producono nuovi numeri seguendo una regola particolare. In questa impostazione, i numeri possono rappresentare punti in uno spazio, come le coordinate su una mappa. Una funzione prende quelle coordinate e le trasforma, spostando i punti in posizioni diverse. I matematici possono esaminare la fluidità con cui una funzione riorganizza lo spazio calcolando il suo determinante Jacobiano. La congettura chiede essenzialmente: se quel determinante è una costante diversa da zero, la funzione ha necessariamente un polinomio inverso?
Il problema ha una storia storica. Fu affermato per la prima volta dal matematico ceco Ludwig Kraus nel 1884, poi generalizzato a qualsiasi numero di dimensioni dal matematico tedesco Ott-Heinrich Keller nel 1939. Era considerato così importante che il vincitore della medaglia Fields Stephen Smale lo incluse nella sua influente lista del 1998 dei problemi matematici per il prossimo secolo.
Nel corso della sua lunga vita, la congettura attirò molte dimostrazioni, compresi i tentativi di Beniamino Segre e Wolfgang Gröbner, due celebri matematici del XX secolo. Nessuno ha resistito. Il fatto che ora sia emerso un controesempio – con l’aiuto di un modello in stile chatbot – illustra come l’intelligenza artificiale si stia rivelando utile per scoprire oggetti matematici inaspettati quanto lo è per costruire dimostrazioni.
Perché il caso di dimensione superiore è crollato
La distinzione fondamentale è tra due e tre (o più) dimensioni. L’originaria congettura Jacobiana bidimensionale, la versione che ha occupato i geometri algebrici per generazioni, è ancora aperta. Ciò che Alpöge e Claude Fable 5 hanno trovato è un controesempio in tre dimensioni, sufficiente per abbattere la congettura generalizzata formulata da Keller nel 1939.
Questo è di per sé un risultato significativo. Molti ricercatori sospettavano che, se la congettura fosse stata vera, lo sarebbe stata ovunque. Un controesempio pulito nella dimensione tre restringe lo spazio delle possibilità e riformula la domanda rimanente: due dimensioni sono veramente speciali o c’è un controesempio in agguato anche lì?
La brevità del controesempio è di per sé notevole. Fortune ha riferito che i matematici sono alle prese con un "cambiamento molto rapido e molto inquietante" poiché gli strumenti di intelligenza artificiale risolvono uno dopo l'altro problemi secolari. Una piccola formula che risolve un problema approvata da una medaglia Fields è esattamente il tipo di sviluppo che alimenta quel disagio – e quell’eccitazione.
Il ruolo crescente dell'intelligenza artificiale in matematica
I matematici che lavorano con modelli linguistici di grandi dimensioni hanno recentemente prodotto diversi risultati degni di nota, e il controesempio della congettura Jacobiana si distingue da molti progressi precedenti. Invece di sottoporsi a una ricerca con la forza bruta, la collaborazione tra Alpöge e Claude Fable 5 ha prodotto una risposta concisa e verificabile dall’uomo: il tipo di risultato che i matematici possono verificare e su cui basarsi.
La scoperta evidenzia anche un modello più ampio. I modelli di frontiera sono sempre più capaci di esplorare vasti spazi combinatori e di proporre oggetti candidati in cui un essere umano non potrebbe mai imbattersi. Quando questi candidati sono abbastanza bassi da poter essere verificati manualmente, la combinazione tra l’ampiezza dell’intelligenza artificiale e il giudizio umano diventa potente.
Cosa significa per il futuro
Ciò che questo significherà per il futuro della matematica – e per i matematici umani – resta da vedere, come ha osservato SciTechDaily. Il controesempio non rende i matematici obsoleti; semmai, acuisce la questione aperta e fornisce ai ricercatori un nuovo obiettivo preciso. Ma ciò rafforza il fatto che l’intelligenza artificiale è andata oltre il riassunto dei libri di testo ed è entrata nel cuore del lavoro matematico creativo.
Il risultato è anche una validazione di alto profilo per Anthropic. Claude Fable 5, resa pubblica solo poche settimane prima della scoperta, fu utilizzata da uno dei matematici dell'azienda per risolvere un problema che aveva ostacolato alcune delle più grandi menti del secolo scorso. Per un’azienda che si affretta a dimostrare che i suoi modelli possono ragionare all’avanguardia, poche conferme sono più credibili di una congettura del 1939 che finalmente si incrina.
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