20世紀の数学を変革した論理学者クルト・ゲーデルは、生きているほとんど誰も読むことができない時代遅れの速記法で書かれた数千ページに及ぶ未発表の著作を残しました。現在、人工知能がそれらの解読を支援しています。そしてその結果は、今世紀で最も有名な数学的知性が歴史家が信じていたよりもさらに多作であったことを示唆しています。

ガーディアン紙が金曜に発表した報道によると、ゲーデルのノートをAIが支援して分析した結果、ゲーデルは1970年代から1980年代の数理論理学の発展を予期した結果を含む、誰も知らなかった数百の定理を証明したことが明らかになったという。 この件の詳細は、人工知能の最新情報をご覧ください。

6 人だけが読める謎めいたアーカイブ

物語は、ヘルシンキ大学のフィンランド人論理学者ヤン・フォン・プラトンから始まります。彼は、ゲーデルが1940年代初頭に書いた16冊のノート（ワークブックとして知られる）の内容を理解するプロジェクトを2017年から主導しています。この資料は数学と論理に関する密度の高い文章で 1,009 ページに達しており、その多くはゲーデルがこの本を執筆した時点ではすでに使われなくなっていたドイツの速記法であるガベルスベルガーで構成されています。

フォン・プラトンはガーディアン紙に対し、自分は速記を読める世界で6人しかいないうちの1人であると語った。欧州研究評議会からの250万ユーロ（210万ポンド）の助成金による資金提供にもかかわらず、テキストの数学的理解の進歩は痛ましいほど遅く、1週間に1ページ程度だった。

クロードは 1,009 ページを数日で消化

そのペースは 9 月に変わりました。フォン プラトンが Anthropic が開発した AI モデルである Claude の助けを求めたときです。このアイデアは 8 月にフランスで開催された AI と定理証明に関する会議で思いつきました。そこでコンピューター科学者たちは、ワークブックの意味を理解するためにモデルの助けを取り入れることを提案しました。

ヘルシンキに戻ったフォン・プラトンは、ゲーデルやその他の二次科学文献について以前に執筆した6冊の本とともに、ワークブックの転写をクロードに見せ始めた。数日以内に、モデルは資料全体の包括的なダイジェスト、つまりワークブックの 650 ページの説明を作成しました。

「私はびっくりしました」とフォン・プラトンはガーディアン紙に語った。 「ワークブックには、70 年代から 80 年代までは知られていなかった結果についての数十の予想が含まれているだけでなく、追求されていなかった論理の 14 のテーマも含まれています。ゲーデルは時代をはるかに先取りしていました。」

同氏は、AIの出力には検証が必要であることを注意深く指摘し、「ページごとに制御する必要があったが、基本的に人間には不可能な作業だ」と述べた。 「人間は一度に 1 ページずつ読んでいきますが、忘れてしまう傾向があります。約 50 ページを読むのに 1 年かかります。私たちはさまざまな部分をすべて覚えておくことはできません。」

「AI は 1,000 ページのすべての部分を接続できます」と彼は付け加えました。 「ゲーデルのすべての著作を一つの作品として見ることができます。」

ゲーデルの 1966 年の主張を検証する

プラトンがクロードに課した最初の課題の 1 つは、歴史的に特別な重みを持っていました。 1966 年、アメリカの数学者ポール コーエンは、連続体仮説と選択公理という 2 つの有名な数学的記述の独立性を証明してフィールズ賞を受賞しました。ゲーデルはコーエンの賞に反応して、自分は 1940 年代に選択公理の結果をすでに証明していたと主張したが、同僚から迫られたとき、メモから証明を再構成することができなかった。

フォン・プラトンはクロードに、ワークブックに選択公理の独立性の証明が実際に含まれているかどうかを判断するよう依頼しました。答えは「はい、ほとんどです」と返ってきた。 「彼はあと一歩のところまで来ていた」とフォン・プラトン氏はガーディアン紙に語った。 「ゲーデルが間違っていた定義が 1 つありますが、彼は 2 年前に正しい定義を持っていたため、正しい定義に到達しただろうと考えられています。」

言い換えれば、ゲーデルの数十年来の主張は実質的に真実だったようだ。彼のメモは、この分野で最高の栄誉を獲得した結果の単一の欠陥定義内にゲーデルを捉えたのだ。

ゲーデルの結果が AI にとって重要な理由

このプロジェクトは、学問に代わるものではなく、学術手段としての AI の説得力のあるデモンストレーションです。ダイジェストは、ソース資料を読むことができる数少ない人間の 1 人によってページごとにチェックされ、その価値は、アーカイブ全体を一度に表示できることによってもたらされました。これは人間の読者の作業記憶を超える作業ですが、言語モデルのコンテキスト ウィンドウを超える作業ではありません。

また、数学における AI の役割についての激しい議論の瞬間にも遭遇します。 AIと数学に関するテレンス・タオのエッセイに関する以前の記事で述べたように、一流の数学者たちは、機械支援が発見と証明をどのように再形成するかを公然と議論しています。ゲーデルのワークブックは、具体的な初期の例を提供しています。AI が新しい定理を証明するのではなく、AI は人間の天才がどれだけすでに証明し、まだ発表されていないかを明らかにします。

論理学の歴史に関しては、この研究結果は、後の数十年にクレジットされた数十の成果が、プリンストンのアーカイブに読まれずに眠っていた先駆者がいること、そしてゲーデルのノートにある14の未踏のテーマがまだ新しい研究の種をまいている可能性があることを示唆しています。 AI 研究にとって、このエピソードは検証優先のコラボレーションのケーススタディです。モデルは人間には不可能な合成を生成し、人間はそれをすべてのページで捉え、チェックし、文脈を解釈しました。

1940年にオーストリアから亡命し、プリンストン高等研究所でアルバート・アインシュタインの親友となったゲーデルは1978年に死去した。40年後、彼が残したノートはついに全文が読まれている。機械の助けを借りて、地球上で単独でそれを行うことができた6人のうちの1人の指導を受けている。

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