Axiom Math บริษัทในซานฟรานซิสโกที่สร้างระบบ AI สำหรับคณิตศาสตร์ ได้เปิดตัวข้อพิสูจน์ที่ตรวจสอบด้วยคอมพิวเตอร์ฉบับสมบูรณ์ชุดแรกสำหรับการจำแนกประเภทกลุ่มจำกัดแบบจำกัด (CFSG) ซึ่งมีการอธิบายอย่างกว้างขวางว่าเป็นข้อพิสูจน์ที่ยาวนานที่สุดในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ ตามประกาศของบริษัท วิศวกรและนักคณิตศาสตร์ได้สั่งให้ตัวแทน AI จำนวนมากในเวลาเพียง 24 วันเพื่อสร้างโค้ดประมาณ 43.1 ล้านบรรทัดใน Lean proof Assistant ซึ่งเป็นการตรวจสอบผลลัพธ์ที่ก่อนหน้านี้ครอบคลุมประมาณ 15,000 หน้าในบทความในวารสารมากกว่า 500 บทความที่เขียนโดยนักคณิตศาสตร์ประมาณ 100 คนในช่วงหลายทศวรรษ
ความสำเร็จเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่คณิตศาสตร์ที่ใช้เครื่องจักรช่วยเร่งความเร็วอย่างรวดเร็ว และหน่วยงานต่างๆ ที่ติดตาม ข่าวการวิจัย AI ได้เฝ้าดูการเปลี่ยนแปลงการตรวจสอบอย่างเป็นทางการจากแนวปฏิบัติเฉพาะกลุ่มไปสู่ขีดความสามารถระดับแนวหน้า สิ่งที่ทำให้การเปิดตัวครั้งนี้ไม่ธรรมดาคือขนาด: การทำให้เป็นทางการประกอบด้วยการประกาศประมาณ 2.05 ล้านรายการซึ่งจัดเป็น 100 เหตุการณ์สำคัญ โดยแต่ละรายการจะตรวจสอบโดยเคอร์เนลของ Lean ซึ่งเป็นแกนหลักขนาดเล็กที่เชื่อถือได้ซึ่งจะตรวจสอบแต่ละขั้นตอนเชิงตรรกะ
สิ่งที่การจำแนกประเภทพูดจริง ๆ
หมู่จำกัดจำนวนอย่างง่ายคือองค์ประกอบหลักที่แบ่งแยกไม่ได้ของสมมาตรอันจำกัด และการจำแนกประเภทที่มีชื่อเล่นว่า "ทฤษฎีบทขนาดมหึมา" ให้รายการกลุ่มเหล่านั้นทั้งหมด ตามเอกสารประกอบของโครงการ กลุ่มง่าย ๆ ที่มีขอบเขตจำกัดทุกกลุ่มเป็นหนึ่งในสี่ประเภท: กลุ่มแบบวนของลำดับเฉพาะ กลุ่มที่สลับกันบนสัญลักษณ์อย่างน้อยห้าตัว หนึ่งในสิบหกตระกูลที่ไม่มีที่สิ้นสุดของกลุ่มประเภท Lie ที่สร้างขึ้นเหนือเขตข้อมูลที่มีจำกัด หรือหนึ่งใน 26 กลุ่มประปรายที่ไม่พอดีกับตระกูลใดเลย
การพิสูจน์ว่ารายการนี้ทำให้ทุกความเป็นไปได้หมดลง ถือเป็นส่วนที่ดีกว่าของความพยายามร่วมกันตลอดหนึ่งศตวรรษ John Thompson ซึ่งผลงานเป็นศูนย์กลางในการจัดหมวดหมู่นี้ ได้รับ Fields Medal ในปี 1970 และ Abel Prize ในปี 2008 การพิสูจน์นี้มีความยาวมากและกระจายไปทั่วกระดาษและนักคณิตศาสตร์รุ่นต่อรุ่น ซึ่งยังคงมีข้อสงสัยเกี่ยวกับความสมบูรณ์ของมันมานานหลายทศวรรษ - ข้อสงสัยที่ว่าการทำให้เป็นทางการนี้หมดไปอย่างเป็นทางการแล้ว
ฝูงตัวแทนจาก 500 แหล่ง
หลักฐานต้นฉบับกระจัดกระจายอยู่ในบทความและหนังสือมากกว่า 500 เล่ม หลายฉบับเขียนเมื่อหลายสิบปีก่อนโดยมีรูปแบบที่เข้ากันไม่ได้ วิศวกร Axiom อธิบายวิธีการในการอภิปรายของ Hacker News เกี่ยวกับการเปิดตัว: ตัวแทนจำนวนหนึ่งได้รับมอบหมายให้ตรวจสอบแหล่งข้อมูลเหล่านี้ทั้งหมด โดยส่วนที่ยากคือการรวบรวมทุกอย่างให้เป็นอันหนึ่งอันเดียวกัน เนื่องจากแนวคิดที่ไม่เป็นทางการเดียวกันสามารถถูกทำให้เป็นทางการในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อยแต่เข้ากันไม่ได้ทางคณิตศาสตร์
โพสต์บนบล็อกของบริษัทระบุว่าความพยายามใช้เวลา 24 วันตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงเผยแพร่ โดยมีวิศวกรที่เป็นมนุษย์และนักคณิตศาสตร์คอยควบคุมเจ้าหน้าที่แทนที่จะทำงานทีละบรรทัด ผลลัพธ์ดังกล่าวเกิดขึ้นหลังจากเหตุการณ์สำคัญในการปรับรูปแบบอัตโนมัติที่มีชื่อเสียงโด่งดังก่อนหน้านี้ในปี 2569 รวมถึงการพิสูจน์ทฤษฎีบทคลาสสิกหลักๆ ที่สร้างด้วยแบบจำลองแนวชายแดน แต่ในระดับที่ไม่มีโครงการใดเคยทำมาก่อน
34 การเบี่ยงเบนจากบันทึกที่เผยแพร่
การแปลหลักฐานที่ตีพิมพ์เป็นรูปแบบที่ตรวจสอบด้วยเครื่องได้เผยให้เห็นปัญหาที่แท้จริงในวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ Axiom รายงานว่าปัญหาส่วนใหญ่เป็นเรื่องเล็กน้อย เช่น ข้อผิดพลาดในการพิมพ์ ข้อผิดพลาดในตาราง หรือสมมติฐานที่ตกหล่น แต่มีการเบี่ยงเบนที่น่าสังเกต 34 ข้อจากบันทึกที่ตีพิมพ์ซึ่งจำเป็นต้องได้รับการแก้ไขก่อนที่จะดำเนินการอย่างเป็นทางการ
สิ่งที่สำคัญที่สุดเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทกลุ่มไม่สมดุล ในขณะที่จัดเส้นทางรุ่นแรกไปสู่ผลลัพธ์อย่างเป็นทางการ ทีมงานพบตัวอย่างที่ขัดแย้งกับการยืนยันการปิดที่ใช้ในการโต้แย้งที่เผยแพร่ ในการปรึกษาหารือกับนักทฤษฎีกลุ่มผู้เชี่ยวชาญ พวกเขาได้สร้างเส้นทางทางเลือกที่สร้างขึ้นจากเทคนิคโครงสร้างของยุค Daniel Gorenstein — โดยเฉพาะทฤษฎีขององค์ประกอบสูงสุด 2 ส่วนจากทศวรรษ 1970 — และเผยแพร่การแก้ไขดังกล่าวเป็นเอกสารทฤษฎีกลุ่ม 35 หน้าใหม่ ซึ่งโพสต์เป็นฉบับพิมพ์ล่วงหน้า 2610.00575 บริษัทกล่าวว่าจะเผยแพร่รายการข้อผิดพลาดที่มีความยาวเพื่อประโยชน์ของชุมชนคณิตศาสตร์ ซึ่งรวบรวมโดยการปรึกษาหารือกับนักทฤษฎีกลุ่มที่ทำงานเกี่ยวกับการจำแนกประเภท
เหตุใดคณิตศาสตร์ที่ตรวจสอบด้วยเครื่องจึงมีความสำคัญ
คุณค่าของการทำให้เป็นทางการไม่ได้เป็นเพียงการที่คอมพิวเตอร์อนุมัติการพิสูจน์เท่านั้น การจัดรูปแบบแบบ Lean จะลดฐานความไว้วางใจให้กับเคอร์เนลของผู้ช่วยพิสูจน์อักษร ซึ่งเป็นโปรแกรมขนาดเล็กที่ได้รับการตรวจสอบอย่างเข้มงวด แทนที่จะสะสมความเชื่อมั่นจากหน้าเว็บหลายพันหน้าที่อ่านโดยผู้เชี่ยวชาญที่กระจัดกระจาย ผู้แสดงความคิดเห็นในกระทู้ Hacker News ซึ่งเรื่องราวดังกล่าวได้รับการโหวตเห็นด้วยหลายร้อยคน ตั้งข้อสังเกตว่าความรู้เชิงประจักษ์ว่าเหตุใดการจัดหมวดหมู่ดังกล่าวจึงมีความเสี่ยงที่จะสูญพันธุ์อย่างแท้จริงเมื่อนักคณิตศาสตร์รุ่นดั้งเดิมเกษียณอายุ เนื่องจากไม่มีใครสามารถโต้แย้งข้อโต้แย้งทั้งหมดไว้ในหัวได้
มีเสียงสะท้อนเชิงปฏิบัติในที่อื่น ๆ ในฟิสิกส์เช่นกัน กลุ่มสัตว์ประหลาดที่ใหญ่ที่สุดในบรรดา 26 กลุ่มประปราย ปรากฏในโปรแกรม "แสงจันทร์มหึมา" ที่เชื่อมโยงสมมาตรอันจำกัดกับฟังก์ชันโมดูลาร์ - ผลงานที่ทำให้ Richard Borcherds ได้รับเหรียญ Fields ในปี 1998 - และในข้อเสนอของ Edward Witten ในปี 2007 ที่เชื่อมโยงสมมาตรของสัตว์ประหลาดกับเอนโทรปีของหลุมดำในจักรวาลสามมิติที่เรียบง่าย การจำแนกประเภทที่ได้รับการตรวจสอบแล้วทำให้คณิตศาสตร์เชิงโครงสร้างพื้นฐานมีความมั่นคงมากขึ้นสำหรับการใช้งานข้ามสาขาวิชาประเภทนี้
อะไรจะเกิดขึ้นต่อไป
Axiom กล่าวว่ามีเอกสารอื่นๆ ที่ได้จากการทำให้เป็นทางการอยู่ในระหว่างดำเนินการ ควบคู่ไปกับโครงการ errata สำหรับชุมชนวิธีการอย่างเป็นทางการ การเปิดตัวจะกำหนดเกณฑ์มาตรฐานใหม่สำหรับโครงการตรวจสอบที่ดำเนินการโดยตัวแทนที่สามารถดำเนินการได้ สำหรับคณิตศาสตร์ มันจะแปลงความสำเร็จในการทำงานร่วมกันที่ยาวนานกว่าครึ่งศตวรรษให้กลายเป็นสิ่งประดิษฐ์ชิ้นเดียวที่คอมพิวเตอร์ทุกเครื่องสามารถตรวจสอบได้ การจำแนกประเภทไม่ได้เป็นเพียงความเชื่ออีกต่อไป ตอนนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว — และมีหลักฐานให้ทุกคนดาวน์โหลดและยืนยันได้
