أصدرت شركة اكسيوم ماث، وهي شركة مقرها سان فرانسيسكو تعمل على بناء أنظمة الذكاء الاصطناعي للرياضيات، أول دليل كامل تم فحصه بالكمبيوتر لتصنيف المجموعات البسيطة المحدودة (CFSG)، والذي يوصف على نطاق واسع بأنه أطول دليل في تاريخ الرياضيات. وفقًا لإعلان الشركة، قام المهندسون وعلماء الرياضيات بتوجيه أسراب من العشرات من عملاء الذكاء الاصطناعي على مدار 24 يومًا فقط لإنتاج ما يقرب من 43.1 مليون سطر من التعليمات البرمجية في مساعد Leanproof، والتحقق من النتيجة التي امتدت في السابق إلى ما يقرب من 15000 صفحة عبر أكثر من 500 مقالة صحفية كتبها حوالي 100 عالم رياضيات على مدى عدة عقود.
يأتي هذا الإنجاز في وقت تتسارع فيه الرياضيات بمساعدة الآلة بسرعة، وقد شاهدت منافذ تتبع [أخبار أبحاث الذكاء الاصطناعي] (https://aibuzzwire.news/en) عملية التحقق الرسمية وهي تنتقل من ممارسة متخصصة إلى قدرة حدودية. ما يجعل هذا الإصدار غير عادي هو الحجم: يحتوي إضفاء الطابع الرسمي على ما يقرب من 2.05 مليون إعلان منظمة في 100 معلم رئيسي، تم فحص كل واحد منها بواسطة Lean's kernel، النواة الصغيرة الموثوقة التي تتحقق من كل خطوة منطقية.
ما يقوله التصنيف في الواقع
المجموعات البسيطة المحدودة هي وحدات البناء غير القابلة للتجزئة للتناظر المحدود، والتصنيف - الملقب بـ "النظرية الهائلة" - يعطي قائمة كاملة بها. وفقًا لتوثيق المشروع، كل مجموعة بسيطة منتهية هي واحدة من أربعة أنواع: مجموعة دائرية ذات ترتيب أولي، مجموعة متناوبة على خمسة رموز على الأقل، واحدة من ستة عشر مجموعة لا نهائية من مجموعات من نوع Lie تم إنشاؤها على حقول محدودة، أو واحدة من 26 مجموعة متفرقة بالضبط لا تتناسب مع أي عائلة.
إن إثبات أن هذه القائمة تستنفد كل الاحتمالات استغرق الجزء الأكبر من قرن من الجهد الجماعي. حصل جون طومسون، الذي كان عمله محوريًا في هذا التصنيف، على ميدالية فيلدز في عام 1970، وجائزة أبيل في عام 2008. وكان الدليل طويلًا جدًا، وموزعًا عبر الأبحاث وأجيال من علماء الرياضيات، لدرجة أن الشكوك العالقة حول اكتماله استمرت لعقود من الزمن، وهي شكوك تتبدد الآن رسميًا.
أسراب من الوكلاء عبر 500 مصدر
الدليل الأصلي منتشر في أكثر من 500 مقال وكتاب، العديد منها مكتوب منذ عقود مضت برموز غير متوافقة. وصف أحد مهندسي اكسيوم الطريقة في مناقشة Hacker News للإصدار: تم تكليف مجموعة من العملاء بدراسة كل هذه المصادر، مع الجزء الصعب المتمثل في تجميع كل شيء في كل متماسك، حيث يمكن إضفاء الطابع الرسمي على نفس المفهوم غير الرسمي بطرق مختلفة قليلاً ولكنها غير متوافقة رياضياً.
يشير منشور مدونة الشركة إلى أن الجهد استغرق 24 يومًا من البداية إلى الإصدار، حيث قام المهندسون البشريون وعلماء الرياضيات بتوجيه أسراب العملاء بدلاً من العمل سطرًا تلو الآخر. وتأتي هذه النتيجة في أعقاب إنجازات بارزة سابقة في مجال الصياغة التلقائية في عام 2026، بما في ذلك البراهين اللينة للنظريات الكلاسيكية الرئيسية التي تم إنتاجها باستخدام نماذج حدودية، ولكن على نطاق لم يقترب منه أي مشروع سابق.
34 انحرافًا عن السجل المنشور
كشفت ترجمة الدليل المنشور إلى نموذج يمكن فحصه آليًا عن مشكلات حقيقية في الأدبيات الرياضية. ذكرت اكسيوم أن معظم المشكلات كانت بسيطة – أخطاء مطبعية، أو أخطاء في الجداول، أو فرضيات سقطت. ولكن كان هناك 34 انحرافًا جديرًا بالملاحظة عن السجل المنشور الذي كان بحاجة إلى حل قبل أن تتم عملية إضفاء الطابع الرسمي.
والأكثر أهمية يتعلق بنظرية المجموعة غير المتوازنة. أثناء إضفاء الطابع الرسمي على طريق الجيل الأول إلى النتيجة، وجد الفريق أمثلة مضادة لتأكيد الإغلاق المستخدم في حجة منشورة. بالتشاور مع منظري المجموعات الخبراء، قاموا ببناء طريق بديل مبني على التقنيات الهيكلية لعصر دانييل جورنشتاين - وتحديدًا نظرية المكونين الأقصى من السبعينيات - ونشروا الإصلاح كورقة نظرية المجموعة الجديدة المكونة من 35 صفحة، والتي تم نشرها كمطبعة أولية رقم 2610.00575. وتقول الشركة إنها ستصدر قائمة طويلة من الأخطاء لصالح مجتمع الرياضيات، والتي تم تجميعها بالتشاور مع منظري المجموعة الذين يعتمد التصنيف على أعمالهم.
ما أهمية الرياضيات التي يتم التحقق منها آليًا
إن قيمة إضفاء الطابع الرسمي لا تقتصر فقط على موافقة الكمبيوتر على الدليل. يؤدي إضفاء الطابع الرسمي على Lean إلى تقليل قاعدة الثقة إلى نواة مساعد الإثبات - وهو برنامج صغير يتم تدقيقه بشكل كبير - بدلاً من الثقة المتراكمة لآلاف الصفحات التي يقرأها متخصصون متفرقون. لاحظ المعلقون على موقع Hacker News، حيث اجتذبت القصة مئات من الأصوات المؤيدة، أن المعرفة التجريبية حول سبب بقاء التصنيف كانت معرضة لخطر الانقراض حرفيًا مع تقاعد الجيل الأصلي من علماء الرياضيات، لأنه لا يمكن لأي شخص أن يحمل الحجة بأكملها في رأسه.
هناك أصداء عملية في أماكن أخرى من الفيزياء أيضًا. تظهر المجموعة الأكبر من بين 26 مجموعة متفرقة، وهي مجموعة مونستر، في برنامج "غوان شاين الوحشي" الذي يربط التناظر المحدود بالوظائف المعيارية - وهو العمل الذي أكسب ريتشارد بورشيردز وسام فيلدز في عام 1998 - وفي اقتراح إدوارد ويتن لعام 2007 الذي يربط تناظرات مونستر بإنتروبيا الثقب الأسود في عالم مبسط ثلاثي الأبعاد. يضع التصنيف الذي تم التحقق منه الرياضيات الهيكلية الأساسية على أرضية أكثر صلابة لهذه الأنواع من التطبيقات متعددة التخصصات بالضبط.
ما يأتي بعد ذلك
وتقول اكسيوم إن هناك المزيد من الأوراق المستمدة من إضفاء الطابع الرسمي في الطريق، جنبًا إلى جنب مع مشروع الأخطاء. بالنسبة لمجتمع الأساليب الرسمية، يضع الإصدار معيارًا جديدًا لما يمكن أن تحاوله مشاريع التحقق الموجهة بواسطة الوكيل؛ أما بالنسبة للرياضيات، فهو يحول إنجازًا تعاونيًا مترامي الأطراف دام نصف قرن إلى قطعة أثرية واحدة يمكن لأي كمبيوتر التحقق منها. ولم يعد التصنيف مجرد اعتقاد. لقد تم إثباته الآن، بالمعنى الحرفي للكلمة، والدليل متاح لأي شخص لتنزيله والتحقق منه.
