20세기 수학을 변화시킨 논리학자 쿠르트 괴델(Kurt Gödel)은 살아 있는 사람이 거의 읽을 수 없는 구식 약어로 쓰여진 수천 페이지에 달하는 미출판 작품을 남겼습니다. 이제 인공지능이 그것들을 해독하는 데 도움을 주었습니다. 그리고 그 결과는 세기의 가장 유명한 수학적 정신이 역사가들이 믿었던 것보다 훨씬 더 다작이었다는 것을 암시합니다.

금요일 가디언(The Guardian)이 발표한 보고서에 따르면, 괴델의 노트를 AI로 분석한 결과 그가 1970년대와 1980년대 수학적 논리학의 발전을 예상한 결과를 포함해 아무도 몰랐던 수백 가지 정리를 증명한 것으로 나타났습니다. 이 이야기에 대한 자세한 내용은 최신 AI 동향를 참조하세요.

오직 6명만이 읽을 수 있는 비밀 기록 보관소

이야기는 헬싱키 대학의 핀란드 논리학자인 얀 폰 플라토(Jan von Plato)로부터 시작됩니다. 그는 2017년부터 괴델이 1940년대 초에 쓴 워크북으로 알려진 16권의 노트의 내용을 이해하기 위한 프로젝트를 주도해 왔습니다. 이 자료는 수학과 논리학에 관해 빽빽하게 쓰여진 1,009페이지에 달하는 텍스트로 구성되어 있으며, 그 중 대부분은 Gödel이 글을 썼을 때 이미 사용되지 않았던 독일 약어인 Gabelsberger로 구성되어 있습니다.

폰 플라톤은 가디언지에 자신이 속기를 읽을 수 있는 세계에서 단 6명 중 한 명이라고 말했습니다. 유럽 ​​연구 위원회(European Research Council)에서 250만 유로(210만 파운드)의 보조금을 지원했음에도 불구하고 텍스트에 대한 수학적 이해의 진전은 일주일에 한 페이지 정도로 고통스러울 정도로 느렸습니다.

Claude는 며칠 만에 1,009페이지를 소화합니다.

이러한 속도는 9월에 von Plato가 Anthropic이 개발한 AI 모델인 Claude의 도움을 요청하면서 바뀌었습니다. 이 아이디어는 지난 8월 프랑스에서 열린 AI 및 정리 증명에 관한 컨퍼런스에서 나왔는데, 컴퓨터 과학자들은 그에게 통합 문서를 이해하는 데 모델의 도움을 활용하라고 제안했습니다.

헬싱키로 돌아온 폰 플라톤은 클로드에게 이전에 괴델과 기타 2차 과학 문헌에 관해 집필한 6권의 책과 함께 통합 문서의 필사본을 보여주기 시작했습니다. 며칠 만에 모델은 전체 자료에 대한 포괄적인 다이제스트(워크북에 대한 650페이지 분량의 설명)를 생성했습니다.

폰 플라톤은 가디언지에 "나는 깜짝 놀랐다"고 말했다. "워크북에는 70년대와 80년대까지 알려지지 않았던 결과에 대한 수십 가지 기대가 담겨 있을 뿐만 아니라 아직 추구되지 않은 논리학의 14가지 주제도 담겨 있습니다. 괴델은 시대를 훨씬 앞서갔습니다."

그는 AI 출력에 검증이 필요하다는 점에 주의를 기울였습니다. "페이지별로 제어해야 했지만 기본적으로 인간에게는 불가능한 작업입니다."라고 그는 말했습니다. "인간은 한 번에 한 페이지씩 읽으면 내용을 잊어버리는 경향이 있습니다. 50페이지 정도 읽으려면 1년이 걸립니다. 우리는 다른 부분을 모두 기억할 수 없습니다."

“AI는 수천 페이지에 있는 모든 부분을 연결할 수 있습니다.”라고 그는 덧붙였습니다. "괴델의 모든 저작을 하나의 조각으로 볼 수 있습니다."

괴델의 1966년 주장 테스트하기

플라톤이 클로드에게 설정한 첫 번째 임무 중 하나는 특별한 역사적 중요성을 지녔습니다. 1966년 미국의 수학자 폴 코헨(Paul Cohen)은 두 가지 유명한 수학적 진술인 연속체 가설과 선택 공리의 독립성을 증명한 공로로 필즈상을 수상했습니다. 괴델은 코헨의 수상에 대해 자신이 이미 1940년대에 선택 공리 결과를 증명했다고 주장했지만 동료들의 압박을 받았을 때 자신의 노트에서 증명을 재구성할 수 없었습니다.

Von Plato는 Claude에게 통합 문서에 선택 공리의 독립성에 대한 증거가 실제로 포함되어 있는지 확인하도록 요청했습니다. 대답이 돌아왔습니다. 예, 거의 그렇습니다. 폰 플라톤은 가디언지에 "그는 단지 한 걸음 떨어져 있었다"고 말했다. "괴델이 틀렸다는 정의가 하나 있지만 그는 2년 전에 올바른 정의를 갖고 있었기 때문에 올바른 정의에 도달했을 것이라고 생각합니다."

즉, 괴델의 수십 년 된 주장은 실질적으로 사실인 것으로 보입니다. 그의 기록은 그 분야에서 가장 높은 영예를 얻은 결과에 대한 단일 결함 정의 내에서 그를 얻었습니다.

괴델 결과가 AI에 중요한 이유

이 프로젝트는 AI가 학문을 대체하는 것이 아니라 학문적 도구로서 설득력 있게 시연되는 것입니다. 다이제스트는 소스 자료를 읽을 수 있는 소수의 사람 중 한 명이 페이지별로 확인했으며, 그 가치는 전체 아카이브를 한 번에 볼 수 있다는 데서 비롯되었습니다. 이는 인간 독자의 작업 메모리를 초과하는 작업이지만 언어 모델의 컨텍스트 창은 아닙니다.

또한 수학에서 AI의 역할에 대한 격렬한 논쟁이 벌어지고 있는 순간이기도 합니다. AI와 수학에 대한 Terence Tao의 에세이에 대한 이전 기사에서 언급했듯이, 주요 수학자들은 기계의 지원이 발견과 증명을 어떻게 재구성할 것인지 공개적으로 논의하고 있습니다. 괴델 워크북은 구체적인 초기 사례를 제공합니다. AI가 새로운 정리를 증명하는 것이 아니라 AI가 인간의 천재성이 이미 얼마나 입증되었으나 출판되지 않았는지를 드러내는 것입니다.

논리학의 역사에 대해 이번 발견은 수십 년 후의 것으로 인정된 수십 개의 결과가 프린스턴 기록보관소에 읽혀지지 않은 채 남아 있으며, 괴델의 노트에 있는 14개의 탐구되지 않은 주제가 여전히 새로운 작업의 씨앗이 될 수 있음을 시사합니다. AI 연구의 경우 이 에피소드는 검증 우선 협업의 사례 연구입니다. 모델은 인간이 할 수 없는 합성을 생성했으며 인간은 모든 페이지를 포착하고 확인하고 맥락화했습니다.

1940년에 오스트리아를 떠나 프린스턴 고등연구소에서 알베르트 아인슈타인의 절친한 친구가 된 괴델은 1978년에 사망했습니다. 40년 후, 그가 남긴 노트는 마침내 혼자서 할 수 있었던 지구상의 6명 중 한 사람의 안내를 받아 기계의 도움으로 완전히 읽혀졌습니다.

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