Antropiczny matematyk wykorzystał opracowany przez firmę model dużego języka, aby obalić matematyczne przypuszczenie, które przez 87 lat opierało się rozstrzygnięciu, dostarczając jeden z najbardziej uderzających przykładów sztucznej inteligencji rozwijającej czystą matematykę.

Levent Alpöge, matematyk z firmy Anthropic zajmującej się sztuczną inteligencją, ogłosił, że znalazł kontrprzykład dla hipotezy Jakobianu, słynnego i długotrwałego problemu geometrii algebraicznej. Do osiągnięcia takiego rezultatu wykorzystał model Claude Fable 5 firmy Anthropic, który został udostępniony opinii publicznej zaledwie kilka tygodni wcześniej. Odkrycie, ogłoszone po raz pierwszy przez ScienceDaily i SciTechDaily i zaczerpnięte z artykułu pierwotnie opublikowanego w The Conversation, wywołało falę ekscytacji w społeczności matematycznej. Dla czytelników śledzących najnowsze osiągnięcia w zakresie sztucznej inteligencji wynik podkreśla, jak szybko pionierskie modele przechodzą od sztuczek salonowych do prawdziwie produktywnej pracy naukowej.

Formuła wystarczająco mała na jeden post

Tym, co czyni ten przełom tak zaskakującym, jest jego zwartość. Według SciTechDaily kontrprzykład to niezwykle prosta funkcja trójwymiarowa — formuła wystarczająco krótka, aby zmieścić się w pojedynczym poście na X. Kontrprzykład wspomagany sztuczną inteligencją obala hipotezę Jakobiana dotyczącą dwóch wymiarów, pozostawiając pierwotną dwuwymiarową formę hipotezy otwartą.

Ten niuans ma znaczenie. Wynik nie rozwiązuje całego problemu, który istnieje od XIX wieku. Zamiast tego ujawnia nieoczekiwane ograniczenie: uogólniona, wielowymiarowa wersja przypuszczenia jest fałszywa, mimo że przypadek, na którym pierwotnie skupiali się matematycy, pozostaje nierozwiązany.

Historia problemu

Hipoteza Jakobiana dotyczy funkcji wielomianowych — maszyn matematycznych, które przyjmują liczby i tworzą nowe liczby, postępując zgodnie z określoną regułą. W tym ustawieniu liczby mogą reprezentować punkty w przestrzeni, np. współrzędne na mapie. Funkcja pobiera te współrzędne i przekształca je, przesuwając punkty w różne pozycje. Matematycy mogą sprawdzić, jak płynnie funkcja zmienia przestrzeń, obliczając jej wyznacznik jakobianu. Hipoteza zasadniczo pyta: jeśli ten wyznacznik jest stałą niezerową, czy funkcja koniecznie ma odwrotność wielomianu?

Problem ma długą historię. Po raz pierwszy został sformułowany przez czeskiego matematyka Ludwiga Krausa w 1884 r., a następnie uogólniony na dowolną liczbę wymiarów przez niemieckiego matematyka Ott-Heinricha Kellera w 1939 r. Uznano go za tak ważny, że medalista Fieldsa Stephen Smale umieścił go na swojej wpływowej liście problemów matematycznych na następne stulecie z 1998 r.

W ciągu swojej długiej historii hipoteza ta doczekała się wielu uznanych dowodów, w tym prób Beniamino Segre i Wolfganga Gröbnera, dwóch słynnych matematyków XX wieku. Żaden nie wytrzymał. Fakt, że teraz pojawił się kontrprzykład – z pomocą modelu przypominającego chatbota – ilustruje, jak sztuczna inteligencja okazuje się równie przydatna do odkrywania nieoczekiwanych obiektów matematycznych, jak i do konstruowania dowodów.

Dlaczego sprawa dotycząca wyższych wymiarów upadła

Kluczowe rozróżnienie dotyczy dwóch i trzech (lub więcej) wymiarów. Oryginalna dwuwymiarowa hipoteza jakobianowa, wersja zajmująca geometrię algebraiczną od pokoleń, jest nadal otwarta. To, co odkryli Alpöge i Claude Fable 5, stanowi kontrprzykład w trzech wymiarach, co wystarczy, aby obalić uogólnione przypuszczenie, które Keller sformułował w 1939 roku.

Jest to znaczący wynik sam w sobie. Wielu badaczy podejrzewało, że jeśli to przypuszczenie w ogóle było prawdziwe, byłoby to prawdą wszędzie. Czysty kontrprzykład w wymiarze trzecim zawęża przestrzeń możliwości i na nowo formułuje pozostałe pytanie: czy dwa wymiary są naprawdę wyjątkowe, czy też czai się tam kontrprzykład?

Zwięzłość kontrprzykładu sama w sobie jest niezwykła. Fortune poinformowało, że matematycy zmagają się z „bardzo szybką i bardzo niepokojącą zmianą”, w miarę jak narzędzia sztucznej inteligencji rozwiązują jedno po drugim stuletnie problemy. Drobna recepta na obalenie problemu, popierana przez medalistę Fieldsa, to dokładnie taki rodzaj rozwoju, który podsyca ten niepokój – i tę ekscytację.

Rosnąca rola sztucznej inteligencji w matematyce

Matematycy pracujący z dużymi modelami językowymi uzyskali ostatnio kilka godnych uwagi wyników, a kontrprzykład oparty na hipotezach jakobiańskich wyróżnia się na tle wielu wcześniejszych osiągnięć. Zamiast szukać metodą brute-force, współpraca Alpöge i Claude’a Fable 5 zaowocowała zwięzłą, możliwą do sprawdzenia przez człowieka odpowiedzią – rodzajem wyników, które matematycy mogą zweryfikować i na których opierać się.

Odkrycie ukazuje także szerszy wzór. Modele graniczne są w coraz większym stopniu zdolne do badania rozległych przestrzeni kombinatorycznych i proponowania potencjalnych obiektów, na które człowiek nigdy by się nie natknął. Kiedy tych kandydatów jest na tyle mało, że można je zweryfikować ręcznie, połączenie szerokiego zakresu sztucznej inteligencji i ludzkiej oceny staje się skuteczne.

Co to oznacza dla przyszłości

Jak zauważyło SciTechDaily, okaże się, co to oznacza dla przyszłości matematyki — i dla matematyków — dopiero się okaże. Kontrprzykład nie sprawia, że ​​matematycy stają się przestarzałymi; jeśli już, to zaostrza otwartą kwestię i wyznacza badaczom nowy, precyzyjny cel. Potwierdza to jednak fakt, że sztuczna inteligencja wyszła poza streszczenia podręczników i wkroczyła w sedno twórczej pracy matematycznej.

Rezultatem jest również głośna walidacja Anthropic. Claude Fable 5, udostępniony publicznie zaledwie kilka tygodni przed odkryciem, został wykorzystany przez jednego z matematyków firmy do rozwiązania problemu, który pokrzyżował niektóre z największych umysłów ubiegłego stulecia. Dla firmy chcącej wykazać, że jej modele potrafią rozumować na pograniczu, niewiele potwierdzeń jest bardziej wiarygodnych niż hipoteza z 1939 r., która w końcu się potwierdziła.

Wyprzedź sztuczną inteligencję

Tempo odkryć opartych na sztucznej inteligencji przyspiesza w nauce, matematyce i przemyśle. Dodaj do zakładek nasze biuro najnowsze wiadomości o sztucznej inteligencji, aby na bieżąco informować o publikacjach modeli, przełomowych osiągnięciach badawczych i zmianach polityki.

Przeczytaj więcej aktualności o sztucznej inteligencji →