Anthropic 的《克劳德寓言 5》用一个小公式反驳了 87 年前的数学猜想

一位人择数学家使用克劳德寓言 5 模型找到了雅可比猜想的反例，推翻了自 1939 年以来一直存在的问题。

一位人择数学家使用公司自己的大型语言模型反驳了 87 年来一直无法解决的数学猜想，提供了迄今为止人工智能推动纯数学发展的最引人注目的例子之一。

人工智能公司 Anthropic 的数学家 Levent Alpöge 宣布，他找到了雅可比猜想的反例，雅可比猜想是代数几何中一个著名且长期存在的问题。他使用 Anthropic 的 Claude Fable 5 模型得出了这一结果，该模型几周前才向公众发布。这一发现首先由《科学日报》和《科学科技日报》报道，摘自《对话》最初发表的一篇文章，在数学界引起了一阵兴奋。对于关注最新人工智能发展的读者来说，这一结果强调了前沿模型从客厅技巧转变为真正富有成效的科学工作的速度有多快。

一个足以容纳单个帖子的公式

这一突破之所以如此令人震惊，是因为它的紧凑性。据SciTechDaily报道，反例是一个非常简单的三维函数——一个足够短的公式，可以容纳在 X 上的单个帖子中。人工智能辅助的反例反驳了二维以上的雅可比猜想，同时保留了该猜想的原始二维形式。

这种细微差别很重要。结果并没有解决自 19 世纪以来一直存在的全部问题。相反，它暴露了一个意想不到的限制：尽管数学家最初最关心的情况仍未得到解决，但该猜想的广义、高维版本是错误的。

问题背后的历史

雅可比猜想涉及多项式函数——接受数字并按照特定规则产生新数字的数学机器。在此设置中，数字可以表示空间中的点，就像地图上的坐标一样。函数获取这些坐标并对其进行转换，将点移动到不同的位置。数学家可以通过计算函数的雅可比行列式来检查函数重新排列空间的顺利程度。该猜想本质上是问：如果该行列式是非零常数，则该函数是否一定具有多项式逆元？

这个问题有着悠久的历史。它首先由捷克数学家路德维希·克劳斯 (Ludwig Kraus) 于 1884 年提出，随后由德国数学家奥特·海因里希·凯勒 (Ott-Heinrich Keller) 于 1939 年将其推广到任意维数。它被认为非常重要，以至于菲尔兹奖得主斯蒂芬·斯梅尔 (Stephen Smale) 将其纳入了他 1998 年颇具影响力的《下世纪数学问题》列表中。

在其漫长的生命周期中，该猜想吸引了许多声称的证明，包括贝尼阿米诺·塞格雷和沃尔夫冈·格罗布纳这两位 20 世纪著名数学家的尝试。没有人坚持下来。在聊天机器人式模型的帮助下，现在出现了一个反例，这一事实说明了人工智能如何被证明对于发现意想不到的数学对象和构建证明一样有用。

为什么高维案例会失败

关键区别在于二维和三维（或更多）维度。原始的二维雅可比猜想，这个在代数几何学家中占据了几代人的版本，仍然是开放的。 Alpöge和Claude Fable 5发现的是三维反例，足以推翻Keller在1939年提出的广义猜想。

这本身就是一个有意义的结果。许多研究人员怀疑，如果这个猜想真的成立，那么它在任何地方都将是正确的。第三维度的一个干净的反例缩小了可能性的空间，并重新构建了剩下的问题：二维是否真的很特殊，或者那里也潜伏着一个反例？

反例的简洁性本身就很引人注目。《财富》报道称，随着人工智能工具不断破解百年难题，数学家们正在努力应对“非常迅速且令人不安的变化”。一个微小的公式能够解决菲尔兹奖得主所认可的问题，正是这种发展加剧了这种不安和兴奋。

人工智能在数学中的作用日益增强

研究大型语言模型的数学家最近取得了一些值得注意的成果，雅可比猜想的反例与许多早期的进展不同。 Alpöge 和 Claude Fable 5 之间的合作没有通过蛮力搜索，而是产生了一个简洁的、可人工检查的答案——数学家可以验证和构建的那种输出。

这一发现还凸显了更广泛的模式。前沿模型越来越有能力探索广阔的组合空间并提出人类可能永远不会偶然发现的候选对象。当这些候选者足够短，可以手工验证时，人工智能广度和人类判断的结合就会变得有效。

这对未来意味着什么

正如SciTechDaily 指出的那样，这对数学的未来以及人类数学家意味着什么还有待观察。反例并没有使数学家变得过时；相反，数学家们已经过时了。如果说有什么不同的话，那就是它使悬而未决的问题更加尖锐，并为研究人员提供了一个精确的新目标。但这确实强化了人工智能已经超越了教科书的总结，进入了创造性数学工作的核心。

这一结果也是对 Anthropic 的一次高调验证。克劳德寓言 5 是在这一发现的几周前向公众发布的，该公司自己的一位数学家使用它来解决了一个困扰上个世纪一些最伟大思想的问题。对于一家竞相证明其模型可以在前沿进行推理的公司来说，没有什么比 1939 年最终破解的猜想更可信的了。